¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial

Question

$$\left(x+\sqrt{y^2+1}\right)dx-\left(y-\frac{xy}{\sqrt{y^2+1}}\right)dy=0$$

Esta ecuación de primer orden obviamente no es separable ni lineal y no es homogénea, y no estoy seguro si esta ecuación es exacta también, ¿es una ecuación diferencial exacta? y si lo es ¿cual es la solución de esta con sus pasos? y si no es ecuación diferencial exacta entonces que es? explique por favor, ¡Gracias!

Answer 1

Dejar $$P(x,y)=x+\sqrt{y^2+1},Q(x,y)=-y+\frac{xy}{\sqrt{y^2+1}}$$ entonces obtenemos $$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{y}{y^2+1}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$$ Así que obtenemos $$f(x,y)=\int x+\sqrt{y^2+1}dx=\frac{x^2}{2}+x\sqrt{y^2+1}+g(y)$$ diferenciando con respecto a $y$ $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{xy}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{d g(y)}{dy}$$ y obtenemos $$\frac{xy}{\sqrt{y^2+1}}+g'(y)=-y+\frac {xy}{\sqrt{y^2+1}}$$ así que $$g(y)=-\frac{y^2}{2}$$ ¿Puedes terminar?