Prueba $d(f\alpha)=d(f \wedge \alpha)$

Question

Estoy leyendo el artículo http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative y una definición de derivada exterior de Axiomas para la derivada exterior. ¿Cómo podría demostrar que si $f$ es una función ( $0$ -) y $\alpha$ a $k$ -forma, entonces $d(f\alpha)=d(f \wedge \alpha)$ ?

Answer 1

Las funciones son formas 0, es decir, escalares. La multiplicación escalar y el producto exterior son equivalentes cuando uno de los argumentos es un escalar, por lo que $ d (f\alpha)=d (f\wedge\alpha) $ .

Answer 2

La multiplicación $f\alpha$ es sólo una multiplicación escalar. Explícitamente, dejemos que $e^{p,1}, e^{p,2}, \ldots$ sea una base de $p$ -formas. Entonces el $p$ -forma $\alpha$ puede escribirse en términos de $\binom{n}{p}$ campos escalares $\alpha_1, \alpha_2, \ldots$ así:

$$\alpha = \sum_{i=0}^{\binom{n}{p}} \alpha_i e^{p,i}$$

Las funciones $\alpha_i$ son funciones de coordenadas. Es decir, $\alpha_i = \alpha_i(x^1, x^2, \ldots, x^n)$ . La base $p$ -forma $e^{p,i}$ son funciones de ambos coordenadas y $p$ vectores de entrada, pero la dependencia funcional de los vectores de entrada no es realmente relevante o necesaria de considerar cuando sólo se toma una derivada exterior. Todo eso es lineal, y no es muy interesante. Voy a abstraer eso como algo $p$ -vector $A$ por lo que podemos escribir $f\alpha$ así:

$$f(x)\alpha(x, A) = \sum_{i=0}^{\binom{n}{p}} f(x) \alpha_i(x) e^{p,i}(x,A)$$

Basta con definir un nuevo $p$ -forma $\beta$ tal que $\beta_i = f \alpha_i$ . El producto cuña de un escalar y un $p$ -se identifica con la multiplicación escalar de esta manera.

Answer 3

Así es como se hace en el libro de Madsen y Tornehave "From calculus to cohomology":

Para una alternancia $p$ -forma $\omega$ y una alternancia de $q$ -forma $\tau$ la alternancia $p+q$ -forma $\omega \land \tau$ se define por $$(\omega \land \tau)(v_1, \ldots, v_{p+q}) = \sum_{\sigma \in S(p,q)} \text{sgn} (\sigma)\omega(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(p)})\tau(v_{\sigma(p+1)}, \ldots, v_{\sigma(p+q)})$$ donde $S(p,q) \subseteq S_{p+q}$ es el conjunto de $(p,q)$ -baraja. Si $\omega$ es una forma 0 alterna, obtenemos $$(\omega \land \tau)(v_1, \ldots, v_{p+q}) = \sum_{\sigma \in S(0,q)} \text{sgn}(\sigma)\omega(\cdot)\tau(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(q)}) = \omega \tau(v_1, \ldots, v_p)$$ Así que $\omega \land \tau = \omega \tau$ .

Cuando pasamos a las formas diferenciales, con $f$ una forma 0 diferencial y $\alpha$ un diferencial $q$ -obtenemos $$(f\land \alpha)(x) = f(x) \land \alpha(x) = f(x) \alpha(x)$$ desde $f(x)$ es una forma 0 alterna y $\alpha(x)$ es una alternancia $q$ -forma. Así, $f \land \alpha = f \alpha$ .