Funciones de recuento de números relacionadas con grupos simples y ley de distribución asintótica

Question

Decimos que un número entero positivo $n$ es un

• número simple si existe un grupo simple no abeliano de orden $n$ . Denote por $\mathfrak{s}$ este conjunto.
• número de potencia principal si es de la forma $n=p^a$ con $p$ de primera. Denotemos por $\mathfrak{pp}$ este conjunto.
• Número congruente de Sylow si es un número no primo-potente para el que las condiciones de congruencia del teorema de Sylow no obligan a que al menos un subgrupo de Sylow sea normal. En otras palabras, podemos tener $n_p\neq 1$ para todos los primos $p$ dividiendo $n$ . Denote por $\mathfrak{sc}$ este conjunto.

También se denota por $\mathfrak{p}$ el conjunto de números primos.

Aunque conozcamos los grupos simples finitos (yo no, pero algunos sí), parece poco realista esperar una caracterización limpia de $\mathfrak{s}$ .

Para un conjunto de enteros positivos $\mathfrak{t}$ definimos $\pi_{\mathfrak{t}}$ la función de recuento de ese conjunto, es decir $\pi_{\mathfrak{t}}(x)$ da el número de elementos en $\mathfrak{t}$ menor o igual a $x$ para cualquier número real $x$ .

Es bien sabido que $\pi_{\mathfrak{p}}(x)\sim\frac{x}{\ln x}$ (Teorema del número primo).

¿Conocemos las leyes asintóticas de distribución de los otros conjuntos definidos anteriormente, es decir, los comportamientos asintóticos de $\pi_{\mathfrak{pp}}(x)$ , $\pi_{\mathfrak{s}}(x)$ y $\pi_{\mathfrak{sc}}(x)$ o $\pi_{\mathbb{N}\setminus \mathfrak{pp}}(x)$ , $\pi_{\mathbb{N}\setminus \mathfrak{s}}(x)$ y $\pi_{\mathbb{N}\setminus \mathfrak{sc}}(x)$ ?

Sospecho que tenemos $\pi_{\mathbb{N}\setminus \mathfrak{sc}}(x)\sim x$ o $\pi_{\mathbb{N}\setminus \mathfrak{sc}}(x)\sim k x$ para algunos $0<k<1$ (basado en algún cálculo). Al menos si nos limitamos a los números Impares.

Answer 1

He aquí un problema más sencillo que debería ponerte en marcha: En lugar de contar potencias primarias, contemos simplemente cuadrados primos.

$$\pi_{\mathfrak{p}^2}(x) = \#\{ p^2 : p^2 < x, p \in \mathfrak{p} \} = \#\{ p^2 : p < \sqrt{x}, p \in \mathfrak{p} \} = \pi_{\mathfrak{p}}(\sqrt{x})$$

Puedes estimar esto usando el buen PNT:

$$\pi_{\mathfrak{p}^2}(x) \sim \frac{2\sqrt{x}}{\ln(x)}$$

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Ahora, varios de sus conjuntos son básicamente potencias primarias de conteo. $\mathfrak{pp}$ por ejemplo, tiene una bonita expresión como:

$$\pi_{\mathfrak{pp}}(x) = \sum_{k=1}^{\log_2(x)} \pi_{\mathfrak{p}^k}(x) = \sum_{k=1}^{\log_2(x)} \pi_{\mathfrak{p}}(x^{(1/k)})$$

La asintótica es la misma:

$$\pi_{\mathfrak{pp}}(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}$$

Del mismo modo, sospecho que no hay problemas con:

$$\pi_{\mathfrak{s}}(x) \sim \frac{3\sqrt[3]{x}}{\ln(x)}$$

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Cálculo divertido:

$$\lim_{x\to\infty} \frac{ x/\ln(x) } { \sum_{k=1}^{\log_2(x)} kx^{(1/k)}/\ln(x) } = \lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sum_{k=1}^{\log_2(x)} kx^{(1/k)}}$$

Es evidente que el operando del límite es menor que 1 para todos los $x > 1$ así que apretamos desde abajo:

$$\begin{align} 1 &\geq \lim_{x\to\infty} \frac{x}{\sum_{k=1}^{\log_2(x)} k x^{(1/k)}} \\ \\ &\geq \lim_{x\to\infty} \frac{x}{x + \sqrt{x} \sum_{k=2}^{\log_2(x)} k} \\ \\ &\geq \lim_{x\to\infty} \frac{x}{x+\sqrt{x} (\log_2(x))^2} = 1 \end{align}$$ En la segunda línea, uso que $\sqrt{x} \geq x^{(1/k)}$ para $k \geq 2$ y luego en la tercera línea sobreestimo una serie aritmética. En la última línea, dividimos arriba y abajo por x y el segundo término del denominador va a 0.