Dejemos que $G_1,G_2$ sean grupos metabelianos finitos de 2 generaciones con abelianizaciones $A$ y los subgrupos derivados son isomorfos como $\mathbb{Z}[A]$ -módulos.
Podría $Z(G_1),Z(G_2)$ ¿tienen diferentes tamaños? ¿Podrían ser no isomórficos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Onorio Catenacci
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Sí, dejemos que $G_1 = \mathtt{SmallGroup}(64,19)$ y $G_2 = \mathtt{SmallGroup}(64,20)$ en la base de datos de grupos pequeños. Ambos son $2$ -generador metabeliano con grupo derivado cíclico de orden $4$ y la abelianización $C_4 \times C_4$ pero $|Z(G_1)|=4$ y $|Z(G_2)|=8$ .
Tienen presentaciones $$G_1 = \langle x,y,z \mid x^4=y^4=z^4=1, [x,y]=z, [x,z]=[y,z]=1 \rangle$$ y $$G_2= \langle x,y \mid x^4=y^4=z^4=1, [x,y]=z, [x,z]=z^2, [y,z]=1 \rangle.$$
Tenga en cuenta que $G_1$ tiene clase de nilpotencia $2$ y $G_2$ tiene clase $3$ .
$\mathbf{Added\ later}$ : Este ejemplo no satisface la condición requerida de que $G_1'$ debe tener la misma estructura que $G_2'$ como $G/G'$ -módulo. Esa condición obliga a ambos grupos a tener la misma clase de nilpotencia. Todavía no he encontrado un ejemplo que satisfaga esa condición en el que $|Z(G_1)| \ne |Z(G_2)|$ . Pero no es difícil encontrar ejemplos en los que los centros no son isomorfos.
Los dos grupos $G_1 = \mathtt{SmallGroup}(16,3)$ y $G_2 = \mathtt{SmallGroup}(16,6)$ ambos tienen abelianización $C_4 \times C_2$ grupo derivado de orden $2$ y centro del orden $4$ pero $G_2$ tiene centro cíclico y $G_1$ no lo hace.
$$G_1 = \langle a,b,c \mid a^2=b^4=c^2=[a,c]=[b,c]=1, b^a=bc \rangle$$
$$G_2 = \langle a,b \mid a^2=b^8=1, b^a=b^5 \rangle.$$
