Diferente forma de ecuación de una recta

Question

Me han dicho que cualquier línea recta en $\mathbb{R}^2$ puede representarse mediante dos parámetros $(p,\theta)$ y la ecuación:

$$x\cos(\theta)+y\sin(\theta)-p=0$$

Pero me cuesta ver intuitivamente por qué esta ecuación da una línea recta. ¿Puede alguien explicarme en términos de geometría cuáles son los parámetros $p$ y $\theta$ representar en términos de la línea (es decir, como cuando representamos una línea como $y=mx+c$ , $m$ es el gradiente y $c$ es el intercepto, lo que es $\theta$ y $p$ en este entorno?)?

Answer 1

Puedes reescribir la ecuación en la forma conocida $y=mx+c$ ,

$$y=-\cot\theta\> x+p\csc\theta$$

para identificar

$$m = -\cot\theta,\>\>\>\>\>p= c\sin\theta$$

Sabiendo que $m$ es el gradiente, medido por $m=\tan\alpha$ con $\alpha$ siendo el ángulo entre la línea y el $x$ -eje, se puede reescribir $m=\tan(\frac\pi2 + \theta)$ y deducimos que $\theta$ es el ángulo entre la línea dada y el $y$ -eje. (Véase el gráfico siguiente).

Del mismo modo, sabiendo que $c$ es el $y$ -intercepción, entonces $p=c\cos\theta$ representa la distancia de la línea al origen.

Answer 2

Esto se llama a veces una ecuación "normal". Aquí, $(\cos\theta,\sin\theta)$ es un vector normal a la línea, y por lo tanto $\theta$ es el ángulo entre la normal y la $OX$ -eje. $p$ es la distancia de la línea al origen.