¿Cuáles son los "correctos" módulos localmente anillado espacios?

Question

$$\begin{array}{ccccc} \text{schemes} & \longrightarrow & \text{locally ringed spaces} & \longrightarrow & \text{ringed spaces} \\ | && | && | \\ \text{quasi-coherent sheaves} & \longrightarrow & \text{?} & \longrightarrow & \text{module sheaves}\end{array}$$

¿Qué sugiere usted para $?$, el montaje en esta imagen?

Este es un soft pregunta, pero tal vez puedo hacer que sea más precisa: me gustaría saber si hay alguna razonable substack $\mathsf{LMod}$ $\mathsf{Mod} : \mathsf{LRS} \to \mathsf{SymMonCat}^{\mathrm{op}}$ tal que $\mathsf{LMod}(X)$ preserva "mucho" de la estructura de $X$ (en particular, no podemos simplemente utilizar el olvidadizo functor $\mathsf{LRS} \to \mathsf{RS}$). Me gustaría ver algo diferente de cuasi coherente o coherente de las poleas, que realmente utiliza el local de los anillos. Por ejemplo, cuando se $x \in \overline{\{y\}}$, se puede exigir que la canónica homomorphism $M_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} \mathcal{O}_{X,y} \to M_y$ es un isomorfismo modulo $(\mathfrak{m}_y)^n$, pero esto es un poco débil.

Answer 1

Para cada abierto $U \subset X$ y cada una de las $f \in \mathcal{O}_X(U)$ podemos considerar el conjunto abierto $U_f$ de los puntos de $x$ $U$ donde $f$ no se asigne a la máxima ideal de $\mathcal{O}_{X, x} = \mathcal{O}_{U, x}$.

En los esquemas caso, si $U$ es cuasi-compacto y cuasi-separados, luego de un cuasi-coherente gavilla $\mathcal{F}$ tiene la propiedad de que $\mathcal{F}(U_f) = \mathcal{F}(U)_f$, ver por ejemplo el Lema de la Etiqueta de 01P7. Si $U$ es general, creo que todavía podemos concluir que

1. si $s \in \mathcal{F}(U)$ restringe a cero en $U_f$, entonces para cada a $x \in U$ existe un abierto de vecindad $x \in W \subset U$ e integer $n \geq 0$ tal que $f^ns|_W = 0$

2. si $t \in \mathcal{F}(U_f)$, entonces para cada a $x \in U$ existe un abierto de vecindad $x \in W \subset U$, una sección de $s \in \mathcal{F}(W)$, y un entero $n \geq 0$ tal que $s|_{W_f} = f^nt|_{W_f}$.

Es decir, podemos tomar $W$ ser afín a abrir barrio de $x$ y aplicar el resultado anterior. (Hay variantes de 1 y 2 utilizando los revestimientos de modo que usted puede generalizar localmente anillado topoi si lo desea).

Así que una posibilidad sería considerar la posibilidad de gavillas de $\mathcal{O}_X$-los módulos de un localmente anillado espacio de $(X, \mathcal{O}_X)$ que satisfagan las condiciones 1 y 2.

En un esquema que había recuperar la costumbre cuasi coherente módulos (no comprobar todos los detalles, pero parece evidente, por favor me corrija si me equivoco). Para un general localmente anillado espacio creo que te puedes hacer una idea diferente de la habitual de cuasi coherente poleas (por ejemplo para la línea real dotado de funciones continuas, parece que la estructura de la gavilla no satisface la condición 2). De hecho, no estoy del todo seguro de que esto es algo muy interesante para cualquier tipo de local rodeada de espacio (o topos) diferentes a partir de un esquema o algebraica de espacio o algebraica de la pila.

En realidad, yo creo que hay muchas propiedades naturales se pueden imponer en $\mathcal{O}_X$-módulos que, cuando se $X$ es un esquema, dar la clase de cuasi-coherente de los módulos. Uno es la condición anterior. Otra es que el $X$ debe tener una cubierta $X = \bigcup U_i$ tal que $\mathcal{F}|_{U_i}$ está asociado a un $\mathcal{O}_X(U_i)$-módulo (como en el Lema de la Etiqueta de 01BH). Por último, existe la definición de cuasi-coherente de los módulos. Pero, presumiblemente, hay muchos otros.