¿Qué es el grupo K de una superficie? También quiero saber cómo calcular dicho grupo y si existe una caracterización explícita de los generadores.
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Si tienes un "dominio fundamental" para tu superficie, entonces puedes utilizar la teoría básica de la obstrucción para calcularla explícitamente (o al menos reducirla a la teoría de grupos pura). Recordemos que tenemos el isomorfismo natural $K(X) \cong [X,BU\times \mathbb{Z}]$ y $\pi_1(BU)\cong \pi_0(U)=0$ . Por lo tanto, el esqueleto 1 de cualquier complejo CW mapea esencialmente de forma trivial en $BU$ y por lo tanto $[\Sigma,BU] \cong \pi_2(BU)$ para cualquier superficie de este tipo $\Sigma$ con un dominio fundamental. Entonces, podemos calcular que $\pi_2(BU) = \mathbb{Z}$ por la periodicidad de Bott (o se puede calcular fácilmente a mano que $\pi_1(U)=\mathbb{Z}$ ). Así que, $K(\Sigma)\cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ .
Esto nos lleva a la informática $K(S^2)$ : $$K(S^2) \cong [S^2,BU \times \mathbb{Z} ] \cong \pi_2(BU) \times \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.$$ La copia no trivial de $\mathbb{Z}$ es generado por el (vdim-0) Haz de Hopf , es decir, el haz canónico sobre $\mathbb{CP}^1$ menos $\underline{\mathbb{C}}$ . Además, si $\Sigma$ es una superficie con un dominio fundamental (es decir, cualquier superficie de género positivo), entonces por la descripción que he dado anteriormente, se puede obtener un generador para la primera copia de $\mathbb{Z}$ (es decir, la copia que no recoge la dimensión virtual) a través del pullback a lo largo del mapa $\Sigma \rightarrow S^2$ que colapsa el esqueleto 1 a un punto.
Por supuesto, podrías haber hecho esto con descomposiciones CW arbitrarias todo el tiempo. Pero la mayoría de las superficies admiten una con una sola 2 celdas, lo que simplifica considerablemente el cálculo.
