irreducibilidad de $(\zeta + \zeta ^{-1})$ sobre el polinomio mínimo de $\mathbb{Z}[x]$

Question

Esta pregunta está relacionada con el siguiente post, especialmente con la respuesta de Did (segunda respuesta del post).

Polinomio mínimo de $\zeta+\zeta^{-1}$

La respuesta da un método para construir un polinomio mónico $f\in\mathbb{Z}[x], $ de grado $\frac{p-1}{2}$ cuando $p\in \mathbb{N}_{primes}$ , de tal manera que $f(\zeta + \zeta^{-1})=0$ cuando $\zeta = e^{\frac{2\pi i}{p}}$ .

Sin embargo, deseo saber si existe una forma general de demostrar que un polinomio mónico $f$ (como arriba) en $\mathbb{Z}[x]$ con un coeficiente libre $a_0 = 1$ , de tal manera que $f(e^{\frac{2\pi i}{p}}+e^{-\frac{2\pi i}{p}})=0$ es irreducible? (para $p\in \mathbb{N}_{primes}$ )

Answer 1

El polinomio mínimo $f$ de $\alpha:=\zeta+\zeta^{-1}$ en $\mathbb{Z}$ es el único polinomio irreducible mónico que tiene $\alpha$ como un cero; si $\alpha$ es un cero de otro polinomio $g$ entonces $g$ es un múltiplo de $f$ . Por lo tanto, entre los polinomios mónicos que tienen $\alpha$ como un cero, el único que es irreducible es el de grado mínimo.

Por otra parte, según la teoría de Galois, el polinomio mínimo de $\alpha$ es el producto de los factores lineales producidos por los conjugados de $\alpha$ por su grupo de Galois de automorfismos. El grupo de Galois $G$ de $\zeta$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_p^*$ y como $\sigma\in G$ implica $\sigma(\zeta^{-1})=\sigma(\zeta)^{-1}$ y $\alpha=\zeta+\zeta^{-1}$ tenemos que $\sigma(\alpha)=\sigma^{-1}(\alpha)$ y si $\sigma,\tau\in G$ satisfacer $\sigma(\alpha)=\tau(\alpha)$ entonces $\tau=\sigma^{\pm1}$ . Por tanto, el grupo de Galois de $\alpha$ tiene la mitad de elementos que $G$ , $(p-1)/2$ y, por tanto, el grado del polinomio mínimo de $\alpha$ es $(p-1)/2$ .

En otras palabras, $f$ monico con $\alpha$ como raíz será irreducible si su grado es $(p-1)/2$ .