Sobre los vectores propios complejos y la demostración del criterio de Sylvester

Question

Hola mi pregunta se refiere a la afirmación del usuario 1551 en esa pregunta: Caracterización de la matriz definida positiva con menores principales Afirmación propia : "en particular, det(A)>0. Se deduce que si A no es definida positiva, debe poseer al menos dos valores propios negativos" - ¿por qué 2, y no 1? ¿Y por qué los valores propios no pueden ser sólo imaginarios, para que no sean tan positivos como negativos (y es eso posible? ¿O siempre son estrictamente positivos o negativos?)

Answer 1

Los valores propios de una matriz hermitiana son reales. Si sólo hay un valor propio negativo, el determinante, que es el producto de los valores propios, sería $\leq 0$ .