Encontrar trillizos $(a,b,c)$ de tal manera que $ \sqrt {abc} \in\mathbb N$ divide $(a-1)(b-1)(c-1)$

Question

Cuando jugaba con los números, descubrí que hay muchos trillizos de tres enteros positivos $(a,b,c)$ de tal manera que

• $ \color {red}{2 \le } a \le b \le c$
• $ \sqrt {abc} \in\mathbb N$
• $ \sqrt {abc}$ divide $(a-1)(b-1)(c-1)$

Ejemplos : Los siguientes son números enteros positivos. $$ \frac {(2-1)(8-1)(49-1)}{ \sqrt {2 \cdot 8 \cdot 49}},\ \frac {(6-1)(24-1)(529-1)}{ \sqrt {6 \cdot 24 \cdot 529}}, \frac {(7-1)(63-1)(3844-1)}{ \sqrt {7 \cdot 63 \cdot 3844}}$$

Entonces, empecé a tratar de encontrar cada tal trillizo. Entonces, encontré $$(a,b,c)=(k,km^2,(km^2-1)^2)$$ donde $k,m$ son enteros positivos tales que $k \ge 2$ y $km^2 \ge 3$ así que sabía que hay infinitamente muchos de esos trillizos. Sin embargo, no puedo encontrar los otros trillizos ni probar que no hay otros trillizos. Así que, aquí está mi pregunta.

Pregunta : ¿Cómo podemos encontrar cada tal trillizo $(a,b,c)$ ?

Añadido : Hay otros trillizos : $(a,b,c)=(k,k,(k-1)^4)\ (k \ge 3)$ por un usuario84413, $(6,24,25),(15,15,16)$ por un usuario Théophile. Además, del primer ejemplo de Théophile, obtuve $(2k,8k,(2k-1)^2)\ (k \ge 3)$ .

Añadido : $(a,b,c)=(k^2,(k+1)^2,(k+2)^2)\ (k \ge 2)$ encontrado por un usuario de café. A partir de este ejemplo, obtuve $(k^2,(k+1)^2,(k-1)^2(k+2)^2)\ (k \ge 2)$ .

Añadido : Tengo $(a,b,c)=(2(2k-1),32(2k-1),(4k-3)^2)\ (k \ge 5)$ .

Añadido : Tengo $(a,b,c)=(k,(k-1)^2,k(k-2)^2)\ (k \ge 4)$ .

Añadido : Un trillizo sin cuadritos $(6,10,15)$ y $(4,k^2,(k+1)^2)\ (k \ge 2)$ encontrado por un usuario Martin.

Añadido El usuario 52733 muestra que $(6,10,15)$ es el único squarefree solución.

Answer 1

Demasiado tiempo para un comentario:

Además de la más bien larga

\begin {alinear} &(m^2, \\ &((-1)^{2 k} \left (2 (-1)^k k m+(-1)^{k+1} (m+2)+m-6 \right )^2)/16, \\ & \left ((-1)^k \left (2 (-1)^k k m+(-1)^{k+1} (m+2)+m-6 \right )+1 \right )^2/4) \\ \end {alinear}

también tenemos $(a,b,c):$

\begin {alinear} & \left (k^3+k^2+k+1,k^3+k^2+k+1,k^4 \right ) \\ & \left (k^4+k^2+1,k^4+k^2+1,k^6 \right ) \\ & \left (k m^2,k m^2 \left (k m^2-2 \right )^2, \left (k m^2 \left (k m^2-3 \right )+1 \right )^2 \right ) \\ \end {alinear}

y para $f(n)=(n-1)^2$ también tenemos

\begin {alinear} & \left (k^2,f^{2 n-1} \left ((k m+1)^2 \right ),f^{2 n} \left ((k m+1)^2 \right ) \right ) \\ \end {alinear}

donde $f^n$ es $f$ iterado $n$ tiempos para $n \geq 1.$

Sin embargo incluso para las fijas. $a,$ las fórmulas anteriores no atrapan todos de las soluciones (y no dicen nada de no cuadrado $a$ combinaciones), y sin embargo para cada $a$ parece haber múltiples ( ¿Infinito? ) soluciones.

Ejemplos: caso $a=8:$

Una búsqueda directa de fuerza bruta para $(8,b,c);\ (b,c)<1000$ da triples

$(8,2,49),(8,8,49),(8,18,49),(8,18,289),(8,32,49),(8,32,961),(8,49,72),(8,49,288),(8,289,392),(8,392,529),$

donde es inmediatamente aparente que los mismos números se repiten varias veces. La eliminación de la $8$ y los gráficos muestran la conexión más claramente:

Buscando $c$ únicamente, utilizando los distintos elementos de la búsqueda inicial (por ejemplo $(8,49,c)$ etc.) hasta $10^5$ revela más conexiones:

$(8,49,c)$ por ejemplo, aparece $6$ trillizos: $(8,49,2),(8,49,8),(8,49,18),(8,49,32),(8,49,72),(8,49,288)$

Puede ser más pertinente preguntar entonces, ¿hay infinitamente muchos trillizos para el fijo $a?$ Ciertamente donde $a$ es cuadrado, este es el caso, pero es menos claro si este es el caso cuando no lo es.

También puede valer la pena perseguir la idea de los pares primitivos $(a,b).$

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario.)

Las dos soluciones,

$$a,\,b,\,c = k^2,\;(k+1)^2,\;(k+2)^2$$

$$a,\,b,\,c = 2^2,\;k^2,\;(k+1)^2$$

por los usuarios coffeemath y martin, respectivamente, son casos especiales de la solución más general,

$$a,\,b,\,c = k^2,\;(km \pm1 )^2,\;(km \pm2 )^2$$

donde Coffeemath ha tenido $m=1$ mientras que Martin ha tenido $k=2,\, m = \frac {n}{2}$ .

Answer 3

Estudiamos las soluciones, si las hay, de la forma (a,b,c) = ( $x^2$ P + 1, $y^2$ P + 1, $z^2$ ). Necesitamos

2X = rM +sN; 2Y = rN - sM; 2V = rN + sM; 2W = rM - sN Haciendo 2( $x^2$ + $y^2$ ) = rM +sN; 4wxy = rN - sM; 4xy = rN + sM; 2u = rM - sN la ecuación principal ( $z^2$ - 1) $x^2$$ y^2 $$P^2$ = Zzw con el entero Z se convierte en 4( $z^2$ - 1) $s^2$$ N^2 $ = Zz ($ r^2 $$N^2$ - $s^2$$ M^2 $) and we have to choose conveniently, if possible, among the arbitrary parameters in order this equation be verified, in particular z must divide 4$ s^2 $$N^2$ por ejemplo. No hay tiempo para mí ahora. Si alguien quiere seguir adelante, adelante.