Ayúdame a entender la función cuantílica (CDF inversa)

Question

Estoy leyendo sobre la función cuantil, pero no me queda claro. Podría dar una explicación más intuitiva que la que se ofrece a continuación?

Dado que la fdc $F$ es una función monotónicamente creciente, tiene un inversa; denotémosla por $F^{1}$ . Si $F$ es la fdc de $X$ , entonces $F^{1}(\alpha)$ es el valor de $x_\alpha$ tal que $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ Esto es lo que se llama el $\alpha$ cuantil de $F$ . El valor de valor $F^{1}(0.5)$ es la mediana de la distribución, con la mitad de la masa de probabilidad a la izquierda y la mitad a la derecha. Los valores $F^{1}(0.25)$ y $F^{1}(0.75)$ son los cuartiles inferior y superior.

Answer 1

Todo esto puede parecer complicado al principio, pero en esencia se trata de algo muy sencillo.

Por función de distribución acumulativa denotamos la función que devuelve las probabilidades de $X$ siendo menor o igual a algún valor $x$ ,

$$ \Pr(X \le x) = F(x).$$

Esta función toma como entrada $x$ y devuelve los valores del $[0, 1]$ intervalo (probabilidades) -denotémoslos como $p$ . El inversa de la función de distribución acumulativa (o función cuantílica) le indica lo que $x$ haría $F(x)$ devolver algún valor $p$ ,

$$ F^{-1}(p) = x.$$

Esto se ilustra en el siguiente diagrama que utiliza la función de distribución acumulativa normal (y su inversa) como ejemplo.

Ejemplo

Como ejemplo sencillo, se puede tomar una norma Gumbel distribución. Su función de distribución acumulativa es

$$ F(x) = e^{-e^{-x}} $$

y se puede invertir fácilmente: recuerde logaritmo natural es una función inversa de exponencial por lo que es inmediatamente obvio que cuantificar para la distribución de Gumbel es

$$ F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p)) $$

Como puede ver, la función cuantil, según su nombre alternativo, "invierte" el comportamiento de la función de distribución acumulativa.

Función de distribución inversa generalizada

No toda función tiene una inversa. Por eso la cita a la que te refieres dice "función monotónicamente creciente". Recordemos que a partir de la definición de la función tiene que asignar para cada valor de entrada exactamente una salida. Las funciones de distribución acumulativa para las variables aleatorias continuas satisfacen esta propiedad ya que son monotónicamente crecientes. Para las variables aleatorias discretas las funciones de distribución acumulativa no son continuas y crecientes, por lo que utilizamos funciones de distribución inversa generalizada que deben ser no decrecientes. Más formalmente, la función de distribución inversa generalizada se define como

$$ F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}. $$

La definición, traducida al castellano, dice que para un valor de probabilidad dado $p$ Estamos buscando algunos $x$ que resulta en $F(x)$ que devuelve un valor mayor o igual entonces $p$ pero como puede haber múltiples valores de $x$ que cumplen esta condición (por ejemplo $F(x) \ge 0$ es cierto para cualquier $x$ ), por lo que tomamos el más pequeño $x$ de esos.

Funciones sin inversa

En general, no hay inversiones para las funciones que pueden devolver el mismo valor para diferentes entradas, por ejemplo las funciones de densidad (por ejemplo, la función de densidad normal estándar es simétrica, por lo que devuelve los mismos valores para $-2$ y $2$ etc.). La distribución normal es un ejemplo interesante por una razón más: es uno de los ejemplos de funciones de distribución acumulativa que no tienen una forma cerrada inversa . No toda función de distribución acumulativa tiene que tener un forma cerrada ¡Inverso! Es de esperar que en estos casos las inversas puedan encontrarse mediante métodos numéricos.

Caso de uso

La función cuantílica puede utilizarse para la generación aleatoria como se describe en ¿Cómo funciona el método de la transformación inversa?

Answer 2

Tim tuvo una respuesta muy completa. Buen trabajo.

Me gustaría añadir un comentario más. No toda función monótonamente creciente tiene una función inversa. En realidad, sólo las funciones estrictamente crecientes/decrecientes tienen funciones inversas.

Para las fdc monótonas que no son estrictamente monótonas, tenemos una función cuantil que también se llama función de distribución acumulativa inversa. Puede encontrar más detalles aquí .

Tanto las funciones inversas (para aquellas cdf estrictamente crecientes) como las funciones cuantílicas (para aquellas cdf monotónicamente crecientes pero no estrictamente crecientes) pueden denotarse como $F^{-1}$ Lo cual puede ser confuso a veces.

Answer 3

El capítulo 2 del libro "Statistical Distributions" de Forbes, Evans, Hastings y Peacock tiene un resumen conciso resumen con una notación coherente.

Un cuantil es cualquier valor posible (por ejemplo, en el contexto de una extracción aleatoria) de una variable, es decir, una variante. Los autores dan un ejemplo de un espacio muestral de lanzamiento de 2 monedas como el conjunto {HH, HT, TH, TT}. El número de caras en esa muestra es un cuantil del conjunto ordenado {0, 1, 2}.

Para una distribución de probabilidad o función de masa, se traza la variable en el eje x y la probabilidad en el eje y.

Si conocieras la probabilidad y la función y quisieras deducir la variante en el eje x a partir de ella, invertirías la función o aproximarías una inversión de la misma para obtener x, conociendo y.

Los valores discretos o continuos a lo largo del eje y para el pdf discreto o continuo pueden no ser creciente y puede haber múltiples x que den como resultado la misma y.

La FCD (función de distribución acumulativa) es más conveniente ya que la función trazada es creciente a lo largo del eje x y del eje y. Extraer el cuantil, es decir, la variante de la CDF suele ser matemática más fácil.

Hay algunos diagramas en el libro que demuestran las propiedades de la distribución de probabilidad discreta, y la FCD en el capítulo 2 y son mostrados en las respuestas publicadas a su pregunta por encima de esta también (aunque no puedo verlos mientras escribo esta respuesta).

La tabla 2.1 contiene un resumen conciso de muchos términos y el punto 4 es para la función de distribución inversa o función cuantil (de probabilidad alfa) y se refiere a la determinación de x a partir de la función inversa que toma la probabilidad como argumento.

El libro es un manual práctico sobre el tema con ejemplos, aunque la implementación de las funciones inversas requiere otros recursos (como las tablas precalculadas que se pueden encontrar en el NIST o los algoritmos de aproximación de aproximación, etc.). https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda367.htm ).

(NOTA: todo lo que pasa de la 1ª frase se ha añadido en respuesta al comentario de gung).