Equivalencia de normas en $l^1$ .

Question

Supongamos que $\|\cdot\|$ es una norma en $l^1$ tal que:
a) $(l^1, \|\cdot\|)$ es un espacio de Banach,
b) para todos $x \in l^1$ $\|x\|_{\infty} \leq \|x\|$ .
Demostrar que las normas $\|.\|$ y $\|.\|_1$ son equivalentes.
( $\|\cdot\|_{\infty}$ - norma de supremacía y $\|\cdot\|_1$ - estándar $l^1$ )

Porque ambos $(l^1, \|\cdot\|)$ y $(l^1, \|\cdot\|_1)$ son de Banach por lo que basta con demostrar la existencia de algún $M > 0$ tal que $M\|x\|_1 \leq \|x\|$ o $\|x\|_1 \geq M\|x\|$ pero no sé cuál puede ser más fácil de probar.

Answer 1

Al principio pensé que una u otra desigualdad debía ser obvia, pero no lo veo después de pensarlo un poco. Una gran pista: Es trivial a partir del Teorema del Grafo Cerrado.