Ecuación funcional f(1+x^2) = f(x)

Question

Consideremos la siguiente ecuación funcional:

$$f(1+x^2)=f(x)$$

donde $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ .

Una solución es $f(x) = 1$ .

¿Existen otras soluciones?

Answer 1

Hay infinitas soluciones. Sea $g(x) = x^2 + 1$ .

En primer lugar, observe que $f$ está en paz. Por lo tanto, sólo nos interesa encontrar $f(n)$ para $n \in \mathbb{N}$ .

Considere la secuencia $x_0 = 0, x_{n+1} = g(x_n)$ . Los primeros términos de esta secuencia son $0, 1, 2, 5, 26, .. $ . El valor de $f(n)$ en todos los términos de esta secuencia es constante. Puedes elegir la constante que quieras.

Ahora escoge cualquier número natural que no esté presente en la secuencia, por ejemplo: $3$ y convertirlo en el valor de $x_0$ . El valor de $f$ en esta nueva secuencia será de nuevo una constante, y no tiene por qué ser la misma constante que antes. Elige cualquier constante que quieras.

Puedes seguir iterando. Por lo tanto, hay infinitas soluciones.