Cálculo del invariante de Chern-Simons de $SO(3)$

Question

Soy un estudiante que está aprendiendo sobre la teoría gauge y me han encargado que trabaje con los dos ejemplos que se dan en las páginas 65 y 66 de " Formas características e invariantes geométricas "de Chern y Simon. Voy a contar los ejemplos y mi progreso en una solución. Para facilitarlo, aquí está el texto correspondiente:

Ejemplo 1. Dejemos que $M = \mathbb{R}P^3 = SO(3)$ junto con la métrica estándar de curvatura constante 1. Sea $E_1, E_2, E_3$ sea una base ortonormal de campos invariantes de la izquierda en $M$ , orientado positivamente. Entonces se ve fácilmente que $\nabla_{E_1}E_2 = E_3, \nabla_{E_1}E_3 = - E_2, \text{ and } \nabla_{E_2}E_3 = E_1$ . Sea $\chi : M \rightarrow F(M)$ sea la sección transversal determinada por este marco. $$\Phi(SO(3)) = \frac{1}{2}.$$

Ejemplo 2. De nuevo, dejemos que $M = SO(3)$ pero esta vez con la métrica invariante de la izquierda $g_{\lambda}$ con respecto a la cual $\lambda E_1, E_2, E_3$ es un marco ortonormal. El cálculo directo muestra $$\Phi(SO(3),g_{\lambda}) = \frac{2\lambda^2 - 1}{2\lambda^4}.$$

Para cada uno de estos ejemplos se espera que calcule
$$\Phi(M) = \int_{\chi(M)} \frac{1}{2} TP_1(\theta)$$ que se encuentra en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ . Anteriormente en el documento dan una formulación explícita de $TP_1(\theta)$ en términos de las formas "componentes" de la conexión $\theta$ y su curvatura $\Omega$ , $$TP_1(\theta) = \frac{1}{4\pi^2}\left( \theta_{12}\wedge\theta_{13}\wedge\theta_{23} + \theta_{12}\wedge\Omega_{12} + \theta_{13}\wedge\Omega_{13} + \theta_{23}\wedge\Omega_{23}\right).$$

He comprobado esta fórmula por mí mismo dada la información del periódico. Utilizando la ecuación estructural $\Omega = d\theta + \theta\wedge\theta$ Soy capaz de reducir la expresión para $TP_1(\theta)$ a $$TP_1(\theta) = \frac{-1}{2\pi^2}\left( \theta_{12}\wedge\theta_{13}\wedge\theta_{23} \right).$$

No creo haber asumido nada sobre la estructura de $M$ durante esa reducción, por lo que creo que debería mantenerse para ambos ejemplos. Continúo afirmando que como $E_1, E_2, E_3 \in so(3)$ el álgebra de Lie de $SO(3)$ Debería ser capaz de calcular $\theta$ considerando $$\nabla_{E_i}E_j := (\nabla E_j)(E_i) = \sum_k E_k \otimes \theta^{k}{}_{ij}(E_i)$$ y comparándolo con las derivadas dadas.

Por ejemplo, uno de los resultados que obtuve fue el siguiente $\theta_{12} = E^3, \theta_{13} = -E^2, \theta_{23} = E^1$ donde $E^i$ son las formas 1 duales a la base $E_i$ . Entonces creo que $\chi^*$ debería actuar trivialmente sobre $TP_1(\theta)$ ya que es una forma horizontal en $\Lambda^*(T^*F(M))$ . Por lo tanto, considero que $\chi^*(TP_1(\theta)) = \frac{1}{2\pi^2}\omega$ , donde $\omega$ es la forma de volumen de $M$ y al integrarlo se obtiene la respuesta correcta de $\frac{1}{2}$ para el primer ejemplo.

Sin embargo, mi planteamiento falla completamente para el segundo ejemplo. Asumo que el conjunto $\lambda E_1, E_2, E_3$ obedece a las mismas relaciones de derivación que se dan en el primer ejemplo, pero esto no parece darme suficientes factores de $\lambda$ . Sospecho que no estoy manejando el cómputo de la $\theta_{ij}$ formas o la aplicación de $\chi^*$ correctamente, sin embargo no estoy seguro de cuál es mi problema exacto. ¿Hay algún fallo fundamental en mi comprensión? Espero que alguien con más experiencia pueda indicarme la dirección correcta.

Answer 1

Utilizaré cofres. Si $\bar{\theta}_1$ , $\bar{\theta}_2$ y $\bar{\theta}_3$ es la cofiguración dual de $E_1$ , $E_2$ y $E_3$ , entonces la cofiguración dual a $\lambda E_1$ , $E_2$ y $E_3$ es:

$\theta_1 = \lambda^{-1} \bar{\theta}_1$ , $\theta_2 = \bar{\theta}_2$ y $\theta_3 = \bar{\theta}_3$ .

Entonces tenemos: $d \theta_1 + 2\lambda^{-1} \theta_2 \wedge \theta_3 = 0$ , $d \theta_2 +2 \lambda \theta_3 \wedge \theta_1 = 0$ y $d \theta_3 + 2 \lambda \theta_1 \wedge \theta_2 = 0$ .

De la primera ecuación estructural de Cartan $d \theta_i + \sum_j \theta_{ij} \wedge \theta_j = 0$ entonces deducimos que $\theta_{12} = -\lambda^{-1} \theta_3$ , $\theta_{13} = \lambda^{-1} \theta_2$ y $\theta_{23} = (\lambda^{-1}-2\lambda) \theta_1$ .

A continuación, calculamos la curvatura $2$ -forma $\Omega_{ij} = d\theta_{ij} + \sum_k \theta_{ik} \wedge \theta_{kj}$ . Obtenemos

$\Omega_{12} = \lambda^{-2} \theta_1 \wedge \theta_2$ , $\Omega_{13} = \lambda^{-2} \theta_1 \wedge \theta_3$ y $\Omega_{23} = (4-3\lambda^{-2}) \theta_2 \wedge \theta_3$ .

Entonces obtenemos que $\frac{1}{2} TP_1(\theta) = \frac{1}{2\pi^2}(-\lambda^{-4}+2\lambda^{-2}-2)Vol_{SO(3)}$ , donde $Vol_{SO(3)}$ denota la forma de volumen de la ronda $SO(3)$ (es decir, correspondiente a $\lambda = 1$ ).

Dado que el volumen de la ronda $SO(3)$ es $\pi^2$ la fórmula del invariante de Chern-Simons de $g_\lambda$ ahora sigue.

Edición 1: Voy a dar más detalles. Usando la fórmula (creo que $6.1$ en ese documento de Chern-Simons):

$$TP_1(\theta) = \frac{1}{4\pi^2}\left( \theta_{12}\wedge\theta_{13}\wedge\theta_{23} + \theta_{12}\wedge\Omega_{12} + \theta_{13}\wedge\Omega_{13} + \theta_{23}\wedge\Omega_{23}\right),$$

conseguimos que

\begin{align*} \frac{1}{2} TP_1(\theta) = &\frac{1}{8 \pi^2} \left(-\lambda^{-1}\lambda^{-1}(\lambda^{-1}-2\lambda) \, \theta_3 \wedge \theta_2 \wedge \theta_1 \right. \\ &-\lambda^{-1} \lambda^{-2} \, \theta_3 \theta_1 \theta_2 + \lambda^{-1} \lambda^{-2} \, \theta_2 \wedge \theta_1 \wedge \theta_3 \\ &\left.\,+(\lambda^{-1} - 2\lambda)(4 - 3\lambda^{-2}) \, \theta_1 \wedge \theta_2 \wedge \theta_3\right) \\ & = \frac{1}{2 \pi^2}(-\lambda^{-3} + 2\lambda^{-1} - 2\lambda) \, \theta_1 \wedge \theta_2 \wedge \theta_3 \end{align*} Pero recuerda las fórmulas $\theta_1 = \lambda^{-1} \bar{\theta}_1$ , $\theta_2 = \bar{\theta}_2$ y $\theta_3 = \bar{\theta}_3$ . De este modo, recogemos un factor adicional de $\lambda^{-1}$ cuando se escribe en términos de la forma de volumen estándar en $SO(3)$ . Así es como he obtenido:

$$\frac{1}{2} TP_1(\theta) = \frac{1}{2\pi^2}(-\lambda^{-4}+2\lambda^{-2}-2)\,Vol_{SO(3)}.$$

Por último, dado que el volumen de $SO(3)$ es $\pi^2$ , obtenemos que

$$\Phi(g_{\lambda}) \equiv \frac{1}{2}(-\lambda^{-4} + 2 \lambda^{-2} -2) \equiv -\frac{1}{2} \lambda^{-4} + \lambda^{-2} \quad \text{(mod $ \ de la que se ha hablado en la página web $)},$$

que es lo que escribieron Chern y Simons, hasta una pequeña manipulación algebraica. Sí, ¡es un cálculo complicado!

Editar 2: Voy a explicar cómo obtener la conexión $1$ -forma $\theta_{ij}$ . Deberíamos tener

$$d\theta_1 + \theta_{12} \wedge \theta_2 + \theta_{13} \wedge \theta_3 = 0.$$

Tenemos que $d\theta_1 + 2 \lambda^{-1} \theta_2 \wedge \theta_3 = 0$ .

Se puede demostrar que $\theta_{12} = h \theta_3$ . Básicamente, si $\theta_{12}$ tiene un valor no nulo $\theta_1$ entonces esto llevaría a un $\theta_1 \wedge \theta_2$ componente de $d\theta_1$ , lo cual es una contradicción. Del mismo modo, se puede demostrar que $\theta_{12}$ no tiene $\theta_2$ componente tampoco.

Un razonamiento similar da que: $$\theta_{12} = h\, \theta_3 \text{ , } \theta_{31} = g \,\theta_2 \text{ and } \theta_{23} = f \,\theta_1.$$

Tenemos por tanto, utilizando las dos primeras ecuaciones de la edición 2, que:

$$ -g - h = 2 \lambda^{-1} .$$

Utilizando ecuaciones similares para $d\theta_2$ y $d\theta_3$ Lo entendemos:

$$ -f - h = 2 \lambda, $$ $$ -f - g = 2 \lambda. $$

La resolución de estos $3$ ecuaciones lineales en $f, g$ y $h$ rinde

$$f = \lambda^{-1} - 2\lambda \text{ , } g = -\lambda^{-1} \text{ , } h = -\lambda^{-1}.$$

Por lo tanto, tenemos que

$\theta_{12} = -\lambda^{-1} \theta_3$ , $\theta_{13} = \lambda^{-1} \theta_2$ y $\theta_{23} = (\lambda^{-1}-2\lambda) \theta_1.$