$\int \frac{5x^3+2}{\sqrt{x^3+1}}dx$

Question

¿Cómo puedo integrar $\int \frac{5x^3+2}{\sqrt{x^3+1}}dx$ ? Sé que el resultado es $2x\sqrt{x^3+1}$ pero no se me ocurre cómo llegar a ella.

Answer 1

Este es un problema sutil de la integración por partes.

Comenzamos señalando que las integrales con $\sqrt{x^3+1}$ normalmente requieren funciones elípticas. Nuestro objetivo es intentar eliminar la integral.

Comience por descomponer el integrando así, separando un término que tenga una potencia mayor ( $+1/2$ en lugar de $-1/2$ ) del radicando:

$\dfrac{5x^3+2}{\sqrt{x^3+1}}=\dfrac{5x^3+5}{\sqrt{x^3+1}}-\dfrac{3}{\sqrt{x^3+1}}$

$=5\sqrt{x^3+1}-\dfrac{3}{\sqrt{x^3+1}}.$

Así que

$\int\dfrac{(5x^3+2)dx}{\sqrt{x^3+1}}=5\int\sqrt{x^3+1}dx-3\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Ahora integramos el primer término de la derecha por partes:

$\int\dfrac{(5x^3+2)dx}{\sqrt{x^3+1}}=5x\sqrt{x^3+1}-5\int x[d\sqrt{x^3+1}]-3\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^3+1}}+C$

$\text{[Properly, an indefinite integration by parts should include the constant.}$

$\text{Doing so avoids a fallacy in certain cases.]}$

$=5x\sqrt{x^3+1}-(5/2)\int\dfrac{3x^3 dx}{\sqrt{x^3+1}}-3\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^3+1}}+C$

$=5x\sqrt{x^3+1}-\int\dfrac{[(15/2)x^3+3] dx}{\sqrt{x^3+1}}+C$

Y luego

$\color{blue}{\int\dfrac{(5x^3+2)dx}{\sqrt{x^3+1}}}=5x\sqrt{x^3+1}-\dfrac32\color{blue}{\int\dfrac{(5x^3+2)dx}{\sqrt{x^3+1}}}+C,$

en la que las integrales en azul son ahora idénticas. Por tanto, podemos combinarlas en el lado izquierdo y resolverlas algebraicamente. Obsérvese que como $C$ es arbitraria, no necesitamos multiplicarla por $2/5$ en el resultado final, que coincide con el dado en la pregunta.