¿Se puede encontrar el resultado de la multiplicación termal de series de potencias de forma cerrada?

Question

Esta es una pregunta que sale de una pregunta de combinatoria que está utilizando funciones generadoras. Permítanme definir lo que quiero decir con la multiplicación de series de potencias de la manera incorrecta (aunque puede ser capaz de adivinar). Sea $$f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots,$$ y $$g(z)=b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots.$$ Entonces la multiplicación errónea, que denotaremos por $*$ se definirá como $$f*g(Z)=a_0b_0+a_1b_1z+a_2b_2z^2+\cdots .$$

Ahora bien, esta es una expresión perfectamente agradable que se puede escribir. Pero supongamos que $f$ y $g$ están en alguna forma compacta como una función racional, o una exponencial o cualquier otra función de uso común (expresiones de forma cerrada, por ejemplo).

Entonces, ¿podemos escribir la forma incorrecta de multiplicar estas series de potencias de forma cerrada (si las funciones originales están en forma cerrada). Si es así, cuál es la fórmula. Si no, cómo sería un contraejemplo.

Answer 1

Esto se llama el producto de Hadamard de series de potencia. Es bastante difícil de calcular en forma cerrada en general y tiene una tendencia a "aumentar la complejidad" de la serie de potencias que se está viendo; considere, por ejemplo, el producto de Hadamard de $e^z$ y a sí mismo.

El producto de Hadamard puede calcularse a veces utilizando el análisis complejo, como en esta entrada del blog .