pregunta sobre paseos aleatorios

Question

La probabilidad de que un caminante aleatorio simple esté en 0 después de $2n$ pasos es $P(S_{2n}=0)=\binom{2n}{n}2^{-2n}$ . ¿Cuál es la probabilidad de que un caminante aleatorio se encuentre en el número entero $2j$ ?

Bueno, entiendo que como los pasos son $+1$ o $-1$ , para estar en $2j$ ,
$2j\leq 2n$ . Después de $2n$ pasos, si $2n=2j$ tienes $2n$ de $+1$ y 0 de $-1$ . Entonces, $n=j$ y $2n=(n+j)$ . Entonces, ¿tendrías $(n+j)$ pasos de $+1$ en todos los casos, incluso cuando $n\neq j$ ?

Answer 1

Sí. Deja que $a$ sea el número de $+1$ pasos y $b$ el número de $-1$ pasos en la primera $2n$ pasos, para que $a+b=2n$ . Para estar en $2j$ , debe tener $a-b=2j$ por lo que sólo hay que resolver el sistema para $a$ y $b$ : $2a=2n+2j$ , $a=n+j$ y $b=n-j$ . Hay $\binom{2n}{n+j}$ formas de elegir el $n+j$ pasos a la derecha, por lo que la probabilidad deseada es $$\binom{2n}{n+j}2^{-2n}\;.$$