Contraejemplo para una descomposición polar en von Neumann y $C^\ast$ álgebras

Question

Para un álgebra de von Neumann, tenemos que la isometría parcial y el operador positivo de un operador en su descomposición polar pertenecen al álgebra, pero en un $C^\ast$ álgebra esto puede no ser cierto.

¿Puede alguien ayudarme a encontrar un contraejemplo?

Answer 1

Considere $C^*$ -Álgebra $C([-1,1])$ y su elemento no invertible $f(x)=x$ entonces su isometría parcial, que es $\mathrm{sign}(x)$ no pertenece a $C([-1,1])$ .

Para un contraejemplo complejo, observe que el mismo ejemplo $f(z)=z$ trabaja en $C(\mathbb{D},\mathbb{C})$ , donde $\mathbb{D}$ es la bola unitaria cerrada en $\mathbb{C}$ . De hecho, si $f=u|f|$ es una descomposición polar, entonces $$ u(z)=\frac{z}{|z|}\quad\forall z\neq 0 $$ no tiene un límite en $0$ . Así que cualquier isometría parcial $u$ que tomes, nunca será continua.