Déjame completar un poco la historia. El conductor mide la ramificación del grupo de Galois del campo local sobre el módulo de Tate de las curvas elípticas. La definición formal se da en el libro de Serre como dijo Jordan, en el texto de Buhler en el enlace dado por Rob, y también en el segundo volumen de Sliverman sobre curvas elípticas.
El conductor es un número entero no negativo que interviene en el $L$ -función de $E$ . Su $p$ -parte $f_p$ desaparece si el módulo de Tate es unramificado (el grupo de inercia de ${\mathbb Q}_p$ actúa de forma trivial). Por lo demás, tiene dos partes, una mansa, que depende únicamente del tipo de reducción del modelo de Néron de $E$ (Creo que esto está demostrado en el artículo de Serre-Tate ''Good reduction of Abelian varieties'').
La segunda parte (la salvaje) del conductor es el conductor Cisne. Es el más cabezón. Se desvanece si y sólo si el $p$ -Sylow actúa trivialmente sobre el módulo Tate. En casos muy sencillos, se puede calcular directamente. En general, está relacionado con los invariantes de $E$ dado por el algoritmo de Tate: el conductor $f_p$ viene dada por la fórmula de Ogg:
$$ f_p=\nu_p(\Delta) - n +1 $$ donde $\Delta$ es el discriminante de una ecuación mínima de Weierstrass de $E$ et $n$ es el número de geométrico componentes irreducibles de la fibra en $p$ del modelo proyectivo regular mínimo de $E$ en $\mathbb Z$ (la fibra en $p$ es una curva proyectiva, posiblemente reducible, sobre $\mathbb F_p$ cuando $n$ se calcula sobre el cierre algebraico de $\mathbb F_p$ ). En el texto de Buhler falta "geométrico".
El algoritmo de Tate da $\Delta$ y $n$ y el ordenador puede encontrarlos muy rápidamente. Así que todo el mundo está contento.
Pero, la fórmula de Ogg, expuesta en su artículo de finales de los 60, era no está totalmente probado . Comprobó la igualdad mediante un análisis caso por caso. En la característica 2 de los residuos, dijo "para simplificar, trabajaremos en la característica igual". Sabemos que la característica igual es una especie de límite de la característica mixta (cuando el índice de ramificación absoluto tiende a infinito), por supuesto, esta hipótesis simplifica mucho el cálculo, pero no da ningún equipo para el caso de la característica mixta (por ejemplo $\mathbb Q_p$ ). Aunque esta fórmula se utilizó ampliamente en los programas informáticos, y a menudo se utilizó como definición del conductor (¡!), algunas personas se preocuparon por lo incompleto de la prueba. Por ejemplo, Serre lo dijo en seminarios. Esto también se señaló en el artículo de Lockhart, Rosen y Silverman bounding conductor of abelian varieties (J. Alg. Geometry).
Esta situación se repara en 1988 en un trabajo magistral de Takeshi Saito. Veamos $R$ sea una d.v.r. con campo de residuos perfecto, sea $C$ sea una curva proyectiva suave y geométricamente conexa de género positivo sobre el campo de fracciones de $R$ y que $X$ sea el modelo proyectivo regular mínimo de $C$ en $R$ . Se define el conductor Artin ${\rm Art}(X/R)$ que resulta ser $f+n-1$ con el mismo significado que el anterior ( $f$ es el conductor asociado al jacobiano de $C$ ). Saito demostró que $${\rm Art}(X/R)=\nu(\Delta)$$ donde $\Delta\in R$ es el ''discriminante'' de $X$ que mide el defecto de un isomorfismo functorial que involucra potencias de la gavilla dualizadora relativa de $X/R$ . Cuando $C$ es una curva elíptica, se puede demostrar que $\Delta$ es en realidad el discriminante de una ecuación mínima de Weierstrass sobre $R$ et y eso es todo ¡! Este artículo de Saito no era aparentemente muy conocido por los teóricos de los números. Algunos detalles más se dan en un texto (en francés) .
Así que la fórmula de Ogg debería llamarse La fórmula de Ogg-Saito . Que algunas personas lo hacen.
