Covarianza de las variables dependientes, condicionalmente independientes

Question

Estoy tratando de encontrar la covarianza entre dos variables que son dependientes, pero condicionalmente independientes. Mis dos variables aleatorias, $X_1$ y $X_2$ son i.d. y sus funciones de densidad de probabilidad son $f(x_i)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^-\frac{(x_i-M)^2}{2\sigma^2}$ . Pero M es una variable aleatoria en sí misma. ¿Cómo puedo calcular $Cov(X_i,X_j)$ ?

Eventualmente, querré trastear con la función de densidad de probabilidad de M, pero puede ser discreta o continua. Si ayuda a responder, dos casos sencillos podrían ser (1) $f(M=\mu)=\frac{1}{c_2-c_1}$ en $(c_1,c_2)$ o (2) $P(M=c_1)=0.6$ y $P(M=c_2)=0.4$ .

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que $X_1=M+\sigma Y_1$ y $X_2=M+\sigma Y_2$ donde $(Y_1,Y_2)$ es normal i.i.d. e independiente de $M$ Por lo tanto $E[X_i]=E[M]$ , $X_1X_2=M^2+\sigma M(Y_1+Y_2)+\sigma^2Y_1Y_2$ y $E[X_1X_2]=E[M^2]$ En particular $\mathrm{Cov}(X_1,X_2)=\mathrm{var}(M)$ .