Ejercicio 8, Sección 17 de Topología de Munkres

Question

Dejemos que $A$ , $B$ et $A_\alpha$ denotan subconjuntos de un espacio $X$ . Demuestre lo siguiente: (a) $\overline{A\cap B} \subset \overline{A}\cap \overline{B}$ . (b) $\overline{ \bigcap A_{\alpha}} \subset \bigcap \overline{A_\alpha}$ . (c) $\overline{A-B} \supset \overline{A} - \overline{B}$ .

Mi intento: (a)

Enfoque(1): $\overline{A}$ y $\overline{B}$ está cerrado. Así que $\overline{A} \cap \overline{B}$ está cerrado en $X$ . Desde $A\cap B\subseteq \overline{A}\cap \overline{B}$ tenemos $\overline{A\cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$ . Nuestro resultado deseado.

Enfoque(2): dejar $x\in \overline{A \cap B}$ . $\forall U\in \mathcal{N}_x, U\cap (A\cap B)\neq \phi$ . Por leyes asociativas, $U\cap (A\cap B)=(U\cap A) \cap (U\cap B)\neq \phi$ . Así que $U\cap A \neq \phi$ y $U\cap B\neq \phi$ se mantiene para toda la vecindad de $x$ . Lo que implica $x\in \overline{A} \cap \overline{B}$ . Así, $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$ . Obsérvese que esta vez no nos encontramos con el mismo problema que en la parte(b) de Ejercicio 6, Sección 17 de Topología de Munkres . ¿Esta prueba es correcta?

(b) $\overline{A}_\alpha$ está cerrado en $X$ , $\forall \alpha \in A$ . Así que la intersección arbitraria, $\cap_{\alpha \in A} \overline{A}_\alpha$ está cerrado en $X$ . Desde $A_\alpha \subseteq \overline{A_\alpha}, \forall \alpha \in A$ tenemos $\cap_{\alpha \in A} A_\alpha \subseteq \cap_{\alpha \in A} \overline{A_{\alpha}}$ . Así, $\overline{ \cap A_{\alpha}} \subset \cap \overline{A_\alpha}$ . ¿Esta prueba es correcta?

(c) dejar $x\in \overline{A}$ y $x\notin \overline{B}$ . $\forall U\in \mathcal{N}_x, U\cap A\neq \phi$ . $\exists V\in \mathcal{N}_x, V\cap B=\phi$ . Así que $(V\cap A)\cap (V\cap B)=\phi = V\cap (A\cap B)$ . Desde $V\neq \phi$ (contiene $x$ ), $A\cap B= \phi$ . Así que $A-B=A$ . $U\cap A= U\cap (A-B)\neq \phi$ . Así, $x\in \overline{A-B}$ . $\overline{A-B} \supset \overline{A} - \overline{B}$ . ¿Esta prueba es correcta?

Answer 1

Mejor manera de hacer el enfoque 2 de (a) (el enfoque 1 es el más fácil y corto; déjalo así): Dejemos que $x \in \overline{A \cap B}$ dejar $O \in \mathcal{N}_x$ entonces $\emptyset \neq O \cap (A \cap B) \subseteq (O \cap A)$ Así que $x \in \overline{A}$ y $\emptyset \neq O \cap (A \cap B) \subseteq (O \cap B)$ Así que $x \in \overline{B}$ . Por lo tanto, $x \in \overline{A} \cap \overline{B}$ y hemos terminado.

(b) es exactamente igual que (a) en realidad. Su enfoque (utilizando el enfoque def 1 de antes) está bien.

(c) necesita una mejor redacción: que $x \in \overline{A}-\overline{B}$ . Como $x \notin \overline{B}$ tenemos algunos $U \in \mathcal{N}_x$ tal que $U \cap B = \emptyset$ . Así que si $O \in \mathcal{N}_x$ es arbitraria, $O \cap U \in \mathcal{N}_x$ así que $x$ estando en el cierre de $A$ nos dice que $(O \cap U) \cap A \neq \emptyset$ . Pero $z$ en esa intersección es, pues, en $O$ y en $A$ pero no en $B$ como $z \in U$ también. Así que $z \in O \cap (A-B)$ y así (como $O$ era arbitrario) $x \in \overline{A-B}$ . No hagas que una prueba se limite a escribir fórmulas, sino que también hagas razonamientos. Es algo común en tus pruebas, me he dado cuenta.