Ecuación de Heisenberg con Hamiltoniano dependiente del tiempo

Question

Es la raíz de la mecánica cuántica que Imagen de Heisenberg et Imagen de Schrödinger ¿son equivalentes?

En la mayoría de los libros de texto y en la wikipedia, la equivalencia se demuestra con un hamiltoniano independiente del tiempo. Sin embargo, algunas publicaciones utilizan la ecuación de Heisenberg con un hamiltoniano independiente del tiempo.

$$i\hbar \frac{dA}{dt}~=~[A(t),H(t)]+i\hbar \frac{\partial A}{\partial t}.$$

Entonces, ¿funciona la ecuación de Heisenberg con un hamiltoniano dependiente del tiempo? Si es así, ¿alguna prueba?

Answer 1

La respuesta corta es que el operador de evolución temporal para un hamiltoniano dependiente del tiempo tiene dos tiempos, el inicial y el final $U (t,s) $ .

Por lo tanto, la definición de $A (t,s)=U (s,t)A U (t,s) $ la ecuación de Heisenberg se obtiene diferenciando con respecto a $t $ . La ecuación de Schroedinger se obtiene diferenciando $U (t,s) \psi (s)$ en su lugar. Ambos son equivalentes en el sentido habitual, es decir, ambos dan las mismas amplitudes de transición evolucionadas en el tiempo.

Answer 2

Vale, lo he descubierto yo mismo. La ecuación de Heisenberg sigue siendo válida para los hamiltonianos dependientes del tiempo:

$$i\hbar \frac{dA}{dt}~=~[A(t),H(t)]+i\hbar \frac{\partial A}{\partial t}.$$

Sin embargo, ahora $H(t)$ se define como $U^\dagger(t)H_S(t)U(t)$ .