Definición universal de espacios tangentes (para esquemas y variedades)

Question

Tanto los esquemas como los colectores son espacios locales anillados que son localmente isomorfos a espacios de alguna subcategoría completa de espacios locales anillados (modelos locales). Ahora bien, existe la noción inherente del espacio tangente de Zariski en un punto (dual del ideal máximo módulo de su cuadrado) que es la definición "correcta" para los esquemas y para $C^\infty$ -(sobre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ ). Pero para $C^r$ -sobre $\mathbb{R}$ con $r<\infty$ esta no es la definición correcta. Aquí hay que tomar clases de equivalencia de $C^r$ - curvas a través del punto. ¿No hay alguna definición general de los espacios tangentes que sea siempre la correcta?

Tampoco estoy completamente seguro de lo que significa "correcto". Hasta ahora, creo que uno quiere que la dimensión del espacio tangente sea igual a la dimensión del punto. Este es, por ejemplo, el problema de los espacios tangentes de Zariski para $C^r$ -manifolds. ¿Puede explicarse este fallo geométricamente?

Answer 1

Considere la línea real $\mathbb R$ et $C^1_0$ el anillo de los gérmenes de las funciones continuamente diferenciables en cero. Tomemos ahora el ideal $M$ de gérmenes que se desvanecen en cero. El espacio cotangente de Zariski $M/M^2$ tiene dimensión el continuo (porque las clases de $x^{1+\epsilon}$ son linealmente independientes en el cociente para $0<\epsilon <1$ ). Por tanto, el espacio tangente de Zariski de la recta real, es decir, el dual de $M/M^2$ tiene dimensión $2^{continuum}$ . Algunos geómetras podrían pensar que esto es un poco grande para la línea real.

Este resultado es esencialmente el ejercicio 13 del Capítulo 3 de la Geometría Diferencial de Spivak, Volumen I.

Answer 2

Bien, aquí hay una definición uniforme que he utilizado al enseñar geometría diferencial, permitiendo $C^r$ colectores con esquinas $M$ con $0 < r \le \infty$ . Da la noción correcta para $r = \omega$ también, así como las variedades complejas y los esquemas suaves de tipo finito sobre un campo $k$ (utilizando la topología etale en este último caso), pero a continuación me ciño al contexto anterior para facilitar la escritura. (No se aplica a esquemas más generales, ni a espacios analíticos complejos no lisos, etc., pero no lo considero un defecto).

Primero un lema estándar, luego una definición. Para cada $m$ en $M$ definen el anillo de gérmenes de $C^r$ -funciones $\mathcal{O}_ m$ como siempre, y (por el argumento de integración habitual) comprobar que para un sistema de coordenadas local $(x_i)$ cerca de $m$ cada $f \in \mathcal{O}_m$ satisfaciendo $f(m) = 0$ satisface necesariamente $f = \sum (x_i - x_i(m))h_i$ para algunos $C^{r-1}$ gérmenes $h_i$ cerca de $m$ . El lema es que la condición toda $h_i$ se desvanecen en $m$ es independiente de la expresión elegida y del sistema de coordenadas (por ejemplo, demostrar $h_i(m) = (\partial_{x_i}|_ m)(f)$ ). Entonces decimos $f$ desaparece en primer orden en $m$ .

Dado que la intuición física es que un vector tangente se identifica con su operador de derivada direccional sobre funciones cercanas al punto, y por lo tanto debe matar funciones que desaparecen en primer orden, es muy razonable definir el espacio tangente ${\rm{T}}_ m(M)$ para ser el espacio vectorial de $\mathbf{R}$ -Mapas lineales $D:\mathcal{O}_m \rightarrow \mathbf{R}$ que cumplen la "regla de Leibnitz en $m$ " y matar a todos los gérmenes desapareciendo a primer orden. Entonces, para cualquier $(x_i)$ los operadores $\partial_{x_i}|_m$ se comprueba que es un $\mathbf{R}$ -se demuestra una relación con los vectores de velocidad a la paramétrica $C^r$ -curvas a través de $m$ (recuperando esa importante visualización), etc.

Answer 3

No estoy seguro, pero creo que Anders Kock (y Bill Lawvere) podrían tener algo que decir al respecto. Ander's Kock ha desarrollado un enfoque topos teórico de la Geometría Diferencial que incluye "objetos infinitesimales". Aquí hay una cita del libro de Kock Geometría diferencial sintética :

Definición 7.1. Un vector tangente a M , con punto base x ∈ M (o adjunto en x ∈ M ) es un mapa t : D → M con t(0) = x.

Esta definición está relacionada con una de las clásicas, donde una tangente en x ∈ M (M una variedad) es una clase de equivalencia de "caminos cortos" t : ( -ϵ, ϵ) → M con t(0) = x. Cada representante t : (-ϵ, ϵ) → M contiene información redundante, mientras que nuestro D es tan pequeño que un t : D → M da un vector tangente sin información redundante; por tanto, aquí, los vectores tangentes son caminos infinitesimales, de "longitud" D. Este es un caso especial de la característica de la geometría diferencial sintética que la noción de chorro se vuelve representable.

Como la teoría de la geometría diferencial de Kock es cartesiana cerrada, el haz tangente de un espacio M es simplemente el objeto M^D.

Para un análogo del objeto D en Geometría Algebraica, se podría tomar Spec(k(x)/(x^2)), donde $k$ es algún campo. Entonces un morfismo de Spec(k(x)/(x^2)) a un esquema X es equivalente a un punto x de X racional sobre k y un elemento del espacio tangente zariski a x.

Así que, aunque este enfoque de la geometría diferencial no es estándar, hay al menos una perspectiva en la que se unifica la idea de espacio tangente: todos son instancias de colecciones de mapas desde algún objeto de "intervalo infinitesimal" a su espacio.

Answer 4

Steven ya explicó un poco la clave de la respuesta: La geometría diferencial sintética (cf. nLab donde también están presentes las insinuaciones sobre un análogo categórico superior), pero me gustaría ponerlo en una perspectiva mucho más amplia, aunque más en palabras y referencias que realmente explicando, principalmente debido a los límites de espacio, tiempo y experiencia.

Aunque se menciona, en varias de las respuestas anteriores, el módulo (posiblemente relativo) de Diferenciales de Kähler que conduce a la versión algebraica del espacio cotangente utilizada en la geometría algebraica y analítica; esta noción parcial es un poco anterior a los trabajos más fundamentales de Grothendieck, que inventó una forma geométrica inherente para fundar un cálculo diferencial en geometría. De forma similar a la diferenciación en espacios vectoriales topológicos, la idea básica es aproximar los mapas con mapas lineales, pero esta vez Grothendieck consideró mapas entre gavillas de $\mathcal{O}$ -sobre esquemas; describió la linealización en el lenguaje de las operaciones sobre gavillas en términos de vecindades infinitesimales de la diagonal $\Delta\subset X\times X$ Estos se describen en términos de elementos nilpotentes en la gavilla estructural; también se puede definir la noción relacionada de puntos generalizados infinitesimales; las vecindades infinitesimales construyen una filtración creciente, que induce una filtración dual en los hom-espacios, llamada filtración diferencial. La unión de la filtración diferencial es la parte diferencial del hom-bimódulo, y sus elementos son operadores diferenciales regulares. Una variante "cristalina" de la imagen relacionada con las potencias divididas conduce a un tratamiento apropiado del cálculo diferencial en características positivas. La noción de cristal de las láminas cuasicoherentes se basa en la noción de puntos generalizados infinitesimales cerrados; la imagen geométrica con pullbacks de láminas, lleva a una definición como una especie de datos de descenso, cf.

• P. Berthelot, A. Ogus, Notas sobre cohomología cristalina Princeton Univ. Press 1978. vi+243.
• J. Lurie, Notas sobre los cristales y el álgebra $D$ -módulos en el seminario de Gaitsgory, pdf

Se trata de un doble punto de vista sobre Módulos D . Los datos de descenso en contexto abeliano son equivalentes a cierto operador de conexión formalmente definido, llamado Conexión Grothendieck en este caso. Ahora existen versiones abstractas de la correspondencia algebraica entre los datos de descenso en contexto abeliano y las conexiones planas de Kozsul para los complejos "Amitsur" asociados (trabajo de Roiter, T. Brzeziński y otros, cf. conexión para una perforación ). Por otro lado, Grothendieck inmediatamente ideó la versión no lineal de los cristales (cristales de esquemas) que son el punto de vista dual de lo que algunos llaman ahora Esquemas D .

El punto de vista de Grothendieck sobre el cálculo diferencial ha sido poco después del descubrimiento a finales de los años 50, introducido en los trabajos de Malgrange, Kodaira y Spencer en el desarrollo de la teoría de obstrucción y deformación para las ecuaciones diferenciales. Ambos trabajos juntos, a finales de los años 60, motivaron a Lawvere, Kock y Dubuc a extender ese enfoque geométrico del cálculo diferencial a la geometría diferencial. Dubuc introdujo $C^\infty$ -esquemas como otra aproximación a los colectores, en el espíritu de la teoría de los esquemas. Lawvere no se fijó sólo en los entonces recientes trabajos de Grothendieck (y Malgrange, Spencer...), sino también en los trabajos clásicos sobre "geometría sintética". Se trata de una terminología que requiere precaución: en el siglo XIX y principios del XX, se consideraba que lo sintético se diferenciaba de lo coordinado, de lo analítico, y se refería a cualquiera de los dos trabajos a partir de axiomas, sin referirse a los aspectos coordenados e incluso métricos, y algunas personas de la geometría descriptiva axiomática se refieren a su geometría como sintética incluso ahora en ese sentido "limpio", pero menos potente. Otro sentido es que se acerca al punto de vista de la ingeniería de que la trayectoria de una partícula puede ser considerada como un punto en el espacio de trayectorias o como un mapa desde el intervalo hacia el espacio, lo que implica que los espacios de infinitas dimensiones de las trayectorias deben existir y uno debe tener la ley exponencial, es decir, necesitamos incrustar nuestra categoría de espacios en la categoría monoidal cerrada; hay muchos tales incrustaciones de la categoría de los manifiestos disponibles ahora, y algunos modelos de ellos ofrecen el modelo $D$ de infinitesimales, que representa el functor de toma del espacio tangente en particular. Este modelo se ha configurado teniendo en cuenta el campo de números duales de Grothendieck en la geometría algebraica, pero el lenguaje y la multiplicidad de modelos lo hicieron muy flexible en el planteamiento de la geometría diferencial sintética de Kock y Lawvere. En primer lugar, tenían un enfoque axiomático independiente, así como el estudio de los modelos topos teóricos; incluyendo el estudio de Cahiers topos que es aún más fiel al punto de vista de Grothendieck. En todos estos modelos, tenían infinitesimales nilpotentes, como en la teoría de esquemas, pero no como los infinitesimales del análisis no estándar. El enfoque más reciente de Moerdijk-Reyes ofrecía infinitesimales nilpotentes y no nilpotentes (aunque la posible variante relacionada con análisis no estándar no me consta). Para un geómetra diferencial hay muchas herramientas atractivas en la geometría diferencial sintética, como los símbolos infinitesimales, que permiten intuir y hacer efectivas muchas cantidades que implican formas diferenciales y geometría.

Por otra parte, la geometría diferencial habitual se incrusta fielmente en los modelos sintéticos, por lo que uno está obligado a ser conservador, es decir, a no obtener resultados sobre las nociones habituales en la teoría de las variedades que sean inconsistentes con las definiciones habituales. Simplemente se obtiene una mayor potencia intuitiva y técnica.

También debo mencionar que la imagen de Grothendieck con los engrosamientos infinitesimales, también conocidos como resoluciones de diagonales, que conducen al cálculo diferencial, puede extenderse a espacios no conmutativos rerpesentados por categorías abelianas "de módulos cuasicoherentes". Esto se ha hecho en los preprints de 1996

• V. A. Lunts, A. L. Rosenberg, Cálculo diferencial en geometría algebraica no conmutativa I. Cálculo D en anillos no conmutativos , MPI 1996-53 pdf , II. D-Calculus en el caso trenzado. La localización de las álgebras envolventes cuantizadas , MPI 1996-76 pdf

La definición resultante de los anillos de operadores diferenciales regulares sobre anillos no conmutativos se ha utilizado en el estudio hacia la correspondencia Beilinson-Bernstein para grupos cuánticos en dos artículos publicados posteriormente, que sin embargo omiten la derivación geométrica de la definición de los operadores diferenciales utilizados:

• V. A. Lunts, A. L. Rosenberg, Operadores diferenciales en anillos no conmutativos Selecta Math. (N.S.) 3 (1997), no. 3, 335--359 ( doi ); secuela: Localización para grupos cuánticos Selecta Math. (N.S.) 5 (1999), nº 1, pp. 123--159 ( doi ).

Un análisis algo similar en la configuración infinita-categórica de un $(\infty,1)$ -versión de los Cahiers Topos se encuentra en el reciente diploma maestro

• Herman Stel, ∞-Pilas y sus álgebras de funciones - con aplicaciones a la teoría de ∞-Lie Utrecht 2010, página web , pdf

bajo la dirección de Urs Schreiber. Este trabajo conduce a una teoría correcta de los algebroides de Lie superiores.

Answer 5

Los vectores tangentes en un manifiesto C^r están definidos por mapeos de un intervalo abierto en el manifiesto. Nos gustaría hacer algo similar en el contexto algebraico.

Por lo tanto, queremos considerar los mapas de la línea A^1 en un esquema X . Como estamos considerando vectores tangentes en un punto fijo, podemos suponer que el mapa F : A^1 -> X mapea el origen al punto dado de $X$ .

Por supuesto, esto no es del todo correcto ya que debería bastar con mapear una vecindad abierta del origen en A^1 para $X$ . La topología de Zariski es (a diferencia de la topología analítica de las variedades) bastante gruesa, así que consideremos vecindades abiertas étale T del origen A^1, que mapeamos a $X$ . Un vector tangente a X es entonces una clase de equivalencia de morfismos de vecindades etéreas puntuales T del origen de A^1 a X donde definimos la equivalencia de dos de estos morfismos como en el caso C^r, es decir, cuando (después de restringir a una vecindad étale común $U$ ) los dos morfismos $f, g\colon U \to X$ tienen la propiedad de que df et dg coinciden en el punto base de $U$ .

Esto da la noción correcta al menos en el caso de los esquemas suaves de tipo finito sobre un campo (los esquemas no suaves se comparan definitivamente mal con las variedades): Todo esquema de este tipo posee (al menos localmente Zariski) un mapa étale al espacio afín A^n_k. Esto permite demostrar que la definición anterior da el espacio tangente correcto, es decir, un n -de las dimensiones.

P.D.: Intentar hacer el camino inverso utilizando la geometría diferencial sintética para imitar la definición algebraica en el contexto de la geometría diferencial no parece ser una solución ya que las funciones en SDG son siempre de clase $\mathcal C^\infty$ .