De acuerdo con la sugerencia de Yemon Choi, voy a sugerir una mayor delimitación de los enfoques de la "Geometría Algebraica No Conmutativa". Conozco muy poco sobre la "Geometría Diferencial No Conmutativa", o lo que a menudo cae bajo el título "à la Connes". Esto estará completamente subrepresentado en este resumen. Para ello confío en que el resumen de Yemon sea satisfactorio. ( editado por YC : BB es amable al decir esto, pero mi intento de resumen es lamentablemente incompleto y puede ser inexacto en los detalles; animaría a cualquiera que lea a investigar más, teniendo en cuenta que la filosofía y el conjunto de herramientas de NCG en el análisis no se originó ni termina con Connes).
También hay que tener en cuenta que gran parte de lo que sé sobre estos enfoques proviene de dos fuentes:
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El documento de Mahanta
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Mi asesor A. Rosenberg.
Además, se produjeron muchos debates útiles en Kevin Lin's pregunta (como dijo Ilya en su respuesta).
Creo que un mejor desglose para el lado del NCAG sería:
A. Enfoque Rosenberg/Gabriel/Kontsevich
Siguiendo la filosofía de Grothendieck: "para hacer geometría, sólo se necesita la categoría de las gavillas cuasi-coherentes en el supuesto espacio" ( editado por KL : ¿De dónde viene esta cita?)
En el famoso disertación de Gabriel En el siglo XIX, introdujo el espectro inyectivo de una categoría abeliana y reconstruyó el esquema noetheriano conmutativo, que es un punto de partida de la geometría algebraica no conmutativa. Más tarde, A. Rosenberg introdujo el espectro izquierdo de un anillo no conmutativo como un análogo del espectro primo en la geometría algebraica conmutativa, y lo generalizó a cualquier categoría abeliana. Utilizó uno de los espectros para reconstruir cualquier esquema conmutativo cuasi separado (no necesariamente cuasi compacto). (Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg).
Además, Rosenberg ha descrito la NC-localización (observada por primera vez también por Gabriel) que ha sido utilizada por él y Kontsevich para construir análogos NC de espacios más clásicos (como el NC Grassmannian) y, más generalmente, de pilas no conmutativas. Rosenberg también ha desarrollado el álgebra homológica asociada a estos "espacios". Las aplicaciones de este enfoque incluyen la teoría de la representación (en particular, la teoría de los módulos D), el álgebra cuántica y la física.
Referencias en este ámbito La mejor manera de encontrarlos es a través de la serie de preimpresos del MPIM, y una gran colección está vinculada aquí . Además, Rosenberg y Kontsevich están escribiendo un libro que amplía el trabajo de su anterior papel . Algunas aplicaciones de estos métodos se utilizan aquí , aquí , aquí y aquí . Los dos primeros se centran en la teoría de la representación, los dos segundos en la localización no conmutativa.
Enfoque Kontsevich/Soibelman
Podrían referirse a su enfoque como "teoría de la deformación formal", y citando directamente su libro
El tema de la teoría de la deformación puede definirse como el "estudio de los espacios de módulo de las estructuras... El tema de este libro es la teoría de la deformación formal. Esto significa que $\mathcal{M}$ será un espacio formal (por ejemplo, un esquema formal), y una categoría típica $\mathcal{W}$ será la categoría de los esquemas afines..."
Su enfoque está relacionado con $A_{\infty}$ álgebras y simetría homológica de espejo. Referencias que pueden ayudar son los papeles de Soibelman . Además, creo que esto está relacionado con la pregunta aquí . (Nota: No sé casi nada más allá de que este enfoque existe. Si sabes más, no dudes en editar ¡esta respuesta! Gracias por su comprensión).
( Algunos comentarios de KL : No estoy seguro de si es apropiado incluir aquí la teoría de la deformación de Kontsevich-Soibelman. Este tipo de teoría de la deformación es algo muy general, que se cruza con algo de la "geometría algebraica no conmutativa" descrita aquí, pero creo que no es ni un subconjunto ni un superconjunto de la misma. En cualquier caso, he hecho algunas preguntas relacionadas con esto en MO en el pasado, ver [esto][22] y [esto][23].
Sin embargo, existe el enfoque de la geometría no conmutativa a través de las categorías, como se dilucida, por ejemplo, en [Katzarkov-Kontsevich-Pantev][24]. En este caso, la idea es pensar en una categoría como una categoría de gavillas en un espacio (hipotético) no conmutativo. Los "espacios no conmutativos" básicos que debemos tener en mente son los "Spec" de un álgebra asociativa (no necesariamente conmutativa), o álgebra asociativa dg, o álgebra A-infinita. Dicho "espacio" es un "esquema afín no conmutativo". La categoría apropiada es entonces la categoría de módulos sobre dicha álgebra. Los espacios definitivamente conmutativos, por ejemplo los esquemas cuasi-proyectivos, son esquemas afines no conmutativos en este sentido: es un teorema de van den Bergh y Bondal que la categoría derivada de las láminas cuasicoherentes sobre un esquema cuasi-proyectivo es equivalente a una categoría de módulos sobre un álgebra dg. (Debo señalar que en mi mundo todo es sobre el campo complejo; no tengo ni idea de lo que ocurre sobre campos más generales). Muchas otras categorías son o deberían ser afines no conmutativas en este sentido: [Categorías de factorización de matrices][25] (véase en particular [Dyckerhoff][26]), y probablemente se conjetura que varios tipos de categorías de Fukaya también lo son.
De todos modos, no tengo ni idea de cómo interactúa este tipo de "geometría algebraica no conmutativa" con los otros tipos explicados aquí, y me gustaría mucho que alguien lo supiera).
El enfoque de Lieven Le Bruyn
Como no sé casi nada de este enfoque y el propio autor es un visitante de este sitio, no me atrevería a intentar resumir este trabajo.
Como se mencionó en un comentario, su sitio web contiene una plétora de enlaces relacionados con la geometría no conmutativa. Te recomiendo que lo consultes usted mismo .
Aproximación a Artin, escuela Van den Berg
Artin y Schelter dieron una condición de regularidad sobre las álgebras que sirven como álgebras de funciones sobre esquemas no conmutativos. Surgen de triples abstractos que se entienden para la geometría algebraica conmutativa. (¡De nuevo, las ediciones son bienvenidas!)
Aquí hay un buen informe sobre Interacciones entre el álgebra no conmutativa y la geometría algebraica . Hay varias personas muy activas en este campo: Michel Van den Berg, James Zhang, Paul Smith, Toby Stafford, I. Gordon, A. Yekutieli. También hay una página muy bonita de Paul Smith: geometría no conmutativa y álgebra no conmutativa donde se encuentran casi todas las personas que trabajan actualmente en el mundo no conmutativo.
Referencias: [Este][16] documento introdujo la necesidad de la condición de regularidad y mostró su utilidad. De nuevo, me remito a [Mahanta][17] para los detalles. El FAC de Serre es el punto de partida de la geometría proyectiva no conmutativa. Pero el marco real lo construyeron Artin y James Zhang en su famoso trabajo [Esquema proyectivo no conmutativo][18].
Teoría de la deformación no conmutativa de Laudal
Olav Laudal ha abordado la NCAG utilizando la teoría de la deformación NC. También aplica su método a la teoría de invariantes y a la teoría de módulos. (¡Por favor, edite!)
Referencias están en su página [aquí][19] y [este][20] documento parece ser un artículo introductorio.
Disculpas
Sin duda, en este post he cometido varios errores, he dado un sesgo, he ofendido a los autores y me he avergonzado a mí mismo. Por favor, no me lo tengáis en cuenta, simplemente editad/comentad este post hasta que sea satisfactorio. Como se ha dicho antes, el artículo de [nlab][21] sobre geometría no conmutativa es estupendo, deberías remitirte a él en lugar de a este post.
Gracias.
[16]: https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=_BnSoQSKnNUC&oi=fnd&pg=PA33&dq=%252522Artin%252522+%252522Algunas+álgebras+asociadas+a+automorfismos+de+las+curvas+elípticas%252522+&ots=hRXnP7udMW&sig=t77CnWnsYPHhuonQffrSXedyj0#v=onepage&q="Artin" "Algunas álgebras asociadas a automorfismos de curvas elípticas"&f=false [17]: https://arxiv.org/abs/math/0501166 [18]: https://web.archive.org/web/20121023193142/http://www.ingentaconnect.com/content/ap/ai/1994/00000109/00000002/art01087 [19]: https://web.archive.org/web/20181103123848/http://folk.uio.no:80/arnfinnl/ [20]: https://web.archive.org/web/20080425144650/http://folk.uio.no/arnfinnl/Noncom.alg.geom.pdf [21]: https://ncatlab.org/nlab/show/noncommutative%20geometry [22]: ¿Qué es una deformación de una categoría? [23]: Teoría de la deformación y álgebras de Lie graduales diferenciales [24]: https://arxiv.org/abs/0806.0107 [25]: Factorizaciones matriciales y física [26]: https://arxiv.org/abs/0904.4713
