Probar que la función es estrictamente positiva en un intervalo definido por los coeficientes

Question

Dejemos que $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}\dots+a_1x+1$ . Demostrar que $f(x)$ es estrictamente positivo si $$0<|x|<{1\over1+\sum_{i=1}^{n}|a_i|}.$$

¿Alguna pista sobre cómo empezar?

Answer 1

Dejemos que $h(x)=f(x)-1=x\sum_{i=1}^{n}a_ix^{i-1}$ entonces para $|x| < \dfrac{1}{1 + \sum_{i=1}^n |a_i|}$ tenemos que $|x|<1$ y $$|h(x)|\leq |x|\sum_{i=1}^{n}|a_i|<1.$$ Por lo tanto, $$f(x)=1+h(x)\geq 1-|h(x)|>0.$$