Podemos caracterizar las transformaciones de Möbius que los mapas de la unidad de círculo en sí mismo?

Question

Las transformaciones de Möbius son los mapas de la forma $$ f(z)= \frac{az+b}{cz+d}.$$ Podemos caracterizar las transformaciones de Möbius que el mapa del círculo unidad en sí mismo?

Answer 1

Considere la función $$f(z)=\frac{e^{i \theta}(z-a)}{1- \bar {a}z}$$ donde $a$ es en el interior del disco.

Ahora tenemos dos partes para probar:

1. Se asigna a la Unidad de círculo a círculo unidad y $a$$0$.Fácil.

2. Cada Möbius transformación que preserva la unidad de disco debe ser de la forma anterior.

Esto puede ser demostrado fácilmente observando que cada Möbius transformación está determinada únicamente por su acción sobre el $3$ puntos. Tomar los puntos se $1,0, \infty$. Intente.

Si usted está atascado, el comentario.

gracias.

EDITAR: No entendí la pregunta para el envío de la unidad de disco en lugar de un círculo.

Por favor, ignore.

Answer 2

La mayoría de las respuestas parece ser la caracterización de las transformaciones de Möbius que el mapa de la unidad de disco en sí, que es relativamente bien conocida. Si usted está pidiendo el mapa que el disco en sí mismo, el artículo que aquí se da una simple prueba de que $|z|<1 \Rightarrow |f(z)|<1$ si y sólo si $$|b\overline{d}-a\overline{c}|+|ad-bc|\leq |d|^2-|c|^2 $$

Answer 3

$z\mapsto \frac{i-iz}{z+1}$ mapas del círculo unidad para el eje real y en su interior a la mitad superior del plano. Los mapas de $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ la fijación de la mitad superior del plano son posiblemente más fácil de describir, y se puede combinar con el "disco de halfplane" y "halfplane a disco$ mapas:

• Se debe asignar $0$ $\infty$o un número real, por lo tanto $d=0$ o $\frac bd\in\mathbb R$.
• Se debe asignar $\infty$ $\infty$o un número real, por lo tanto $c=0$ o $\frac ac\in\mathbb R$.
• El $z$ $f(z)=0$ debe $\infty$ o real, por lo tanto $a=0$ o $\frac ba\in\mathbb R$.

También tenga en cuenta que usted puede establecer un número distinto de cero wlog. ser $1$. Esto se espera que usted, helpp

Answer 4

Estas transformaciones hacen que un grupo isomorfo a $PSL_2(\mathbb R),$ que se lleva la mitad superior del plano a sí mismo. La forma general, con los números complejos $\alpha, \beta$ $|\alpha| > |\beta|,$ es $$ f(z) = \frac{\alpha z + \beta}{\bar{\beta} z + \bar{\alpha}}. $$ Este es el resultado de tomar los números reales $a,b,c,d$ $ad-bc > 0$ y el cálculo de $$ \left( \begin{array}{rr} 1 & -i \\ -i & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 1 & i \\ i & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} (a+d) +(b-c)i & (b+c) +(a-d)i \\ (b+c) + (d-a)i & (a+d) + (c-b)i \end{array} \right). $$

Necesitamos el módulo de $\alpha$ a ser el más grande de modo que $|f(0)| < 1.$ Para su propia comodidad, compruebe que $f(1), f(-1), f(i), f(-i)$ todos han módulo de $1.$

Para bajar a tres variables reales que subyacen a la cosa, podemos dividir por el número real positivo $|\alpha|,$ lo exigente $\alpha = e^{i \theta}$ han módulo de $1,$ $|\beta| < 1,$ mediante el uso de una nueva variable $\gamma$ $|\gamma| < 1$ hemos $$ f(z) = \frac{ e^{i \theta} z + \gamma}{\bar{\gamma} z + e^{-i \theta}}. $$

Answer 5

$|z|=1$ un punto arbitrario en el círculo unidad (estoy asumiendo que usted quiere hablar acerca de los puntos complejos en el plano complejo). Por lo que su reformularse la pregunta es, qué $a,b,c,d$ existe tal que $$|z|=1 \Rightarrow \left|\frac{az+b}{cz+d}\right|=1$$ Esto es, el uso de las leyes de la multiplicación dentro de la norma, la misma que: $$|z|=1 \Rightarrow \left|az+b\right|= \left|cz+d\right|$$ Y me parece que de todas las posibilidades, ninguna incluye cambios de cualquier tipo, ya que cambiaría el círculo unidad de distancia desde el origen. Por lo tanto la posibilidad de una rotación de los puntos del círculo unitario:

$$f(z)=\frac{az}{d}$$ Donde $\left| \frac{a}{d}\right|=1$. Para la unidad de disco, $|z| \le 1$. Se convierte en un asunto de dos funciones lineales. Se requeriría $$\left|az+b\right| \le \left|cz+d\right| \quad $$ Para cada $|z| \le 1$. Para el plano complejo, que significa la ampliación de la escala y el cambio de los discos, de tal manera que el que uno se queda completamente dentro de la otra (bueno casi, ya que puedo imaginar una posibilidad de que los valores particulares de un determinado $z$ no satisface la desigualdad).

Si es más de una ayuda, me imagino que es como una escala y el cambio, pero el cambio debe ser uno que no "superar" la escala y el desplazamiento de los otros. Ya que si la "raza desde el punto cero" siempre está siendo ganada por el numerador, el Möbius tiene valor fuera del círculo unidad.

Creo que cualquier caracterización de tales Möbius funciones implicaría una independiente de la rotación para el numerador y el denominador, ya que no altera la magnitud. Sería alinear los dos (numerador y denominador) para ser alineados si se quiere, de modo que la magnitud de la caracterización de la función puede ser analizado. Por lo que sería considerando: $$f'(z) = \frac{r_n(az+b)}{r_d(cz+d)}$$ donde $r_n$ $r_d$ son de cualquier magnitud, que uno de los valores que hacen que el análisis sea más conveniente. El $f'(z)$ sería entonces, exhiben el mismo comportamiento en cuanto a la magnitud, y cada una de las $r$ por separado representa una rotación. Entonces, si son elegidos correctamente (el más rápido en la "carrera" vs el "más lento" o similar), la función puede ser considerado solamente por un solo camino, y se convertiría en la comparación de dos líneas, si uno siempre tiene magnitud más grande que el otro en el intervalo [-1,1], entonces su (magnitud) de relación es siempre menor que uno.