¿Alguien sabe si existe una lista de los grupos de Bieberbach de cuatro dimensiones presentados por generadores y relaciones en la web? Sé que existe el libro Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space de Brown, Bulow y Neubuser, pero no lo tengo en este momento.
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Tal vez quiera investigar GAP un sistema de álgebra discreta computacional, que contiene el CrystCat paquete. Este paquete contiene toda la información contenida en el libro que usted menciona.
Para comprobar si un grupo es Bieberbach, puede utilizar DisplaySpaceGroupType que mencionará "libre de fp" si el grupo es libre de torsión.
gap> DisplaySpaceGroupType(3,6,1,1,1);
#I Space-group type (3,6,1,1,1); IT(168) = P6; orbit size 1
gap> DisplaySpaceGroupType(3,6,1,1,4);
#I *Space-group type (3,6,1,1,4); IT(169) = P61, IT(170) = P65;
#I orbit size 2; fp-freeSi quiere una lista simple de generadores y relaciones, vea el siguiente ejemplo:
gap> S := SpaceGroupOnRightBBNWZ(3,6,1,1,4);
SpaceGroupOnRightBBNWZ( 3, 6, 1, 1, 4 )
gap> F := Image(IsomorphismFpGroup(S));
<fp group on the generators [ f1, f2, f3, f4, f5 ]>
gap> RelatorsOfFpGroup(F);
[ f1^3*f5^2, f2^-1*f1^-1*f2*f1, f2^2*f5, f3^-1*f1^-1*f3*f1*f3*f4^-1,
f4^-1*f1^-1*f4*f1*f3*f4^2, f5^-1*f1^-1*f5*f1, f3^-1*f2^-1*f3*f2*f3^2,
f4^-1*f2^-1*f4*f2*f4^2, f5^-1*f2^-1*f5*f2, f4^-1*f3^-1*f4*f3,
f5^-1*f3^-1*f5*f3, f5^-1*f4^-1*f5*f4 ]A continuación, puedes simplificar esta presentación de la siguiente manera:
gap> G := SimplifiedFpGroup(F);
<fp group on the generators [ f1, f2, f4 ]>
gap> RelatorsOfFpGroup(G);
[ f2^-1*f1^-1*f2*f1, f2^-1*f4*f2*f4, f2^-4*f1^3, (f4^-1*f1)^2*f4^-1*f1^-2,
f1^-1*(f4*f1)^2*f4*f1^-1, f2*f4^-1*f1^-1*f2^-2*f1*f4*f2 ]También puede interesarle el Carat que permite calcular una base de datos de grupos cristalográficos de dimensiones superiores y el AcLib que contiene una base de datos de grupos casi cristalográficos.
cookeecut
Puntos
66
Véanse las secciones 3 y 4 del capítulo 8 de mi libro ``Cuatro Manifolds, Geometrías y Nudos'', Geometry and Topology Monographs 5 (2002) (revisado en 2007 y 2014). Se presentan los grupos que no son {\it uniquely} productos semidirectos $G\rtimes_\theta\mathbb{Z}$ . En los demás casos, $G$ es un grupo de grupo de 3 manificios, y los posibles automorfismos $\theta$ se dan. Las presentaciones y los automorfismos de los grupos de 3 manificios planos se consideran en la sección 2 del mismo capítulo, y es sencillo escribir una presentación para cada uno de estos productos semidirectos.
La lista de grupos de Bieberbach de 4 dimensiones también se rederiva en el artículo arXiv 1303.6613 [math.GT] de Lambert, Ratcliffe y Tschantz. (Se dieron cuenta de un descuido en mi tratamiento de los cuatro ejemplos con abelianización finita, pero las presentaciones son correctas).
