Expectativa del elemento máximo de un vector cuya expectativa es cero

Question

Declaración informal:

En definitiva lo que pido es que tengamos un vector 2d cuyos elementos se dibujan i.i.d de $\mathcal{N}(0, 1)$ . Entonces, elegimos el máximo de los dos. Una vez especificado el índice del máximo, lo multiplicamos por un elemento de otro vector $a$ cuyo índice es el mismo que el del máximo. ¿La expectativa de la nueva variable aleatoria es cero?

Declaración formal:

Dejemos que $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^2$ donde $b_1,b_2 \sim \mathcal{N}(0, 1)$ y $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^2$ donde $a_1 \neq0$ y $a_2 \neq0$ . Además, deja que $i^{*} \in \arg\max_{i=1,2} b_i$ (ambos $b_1$ y $b_2$ puede ser el mismo por eso tenemos $\in$ no $=$ ) y $X=a_{i^*}b_{i^*}$ ? Es $\mathbb{E}_{\mathbf{b}}[X]=\mathbb{E}_{\mathbf{b}}[a_{i^*(\mathbf{b})}b_{i^*(\mathbf{b})}]$ ?

Mi intento:

Aunque, el índice de máximo, es decir, $i^*$ es una función de $\mathbf{b}$ Es el 1 o el 2. Este $i^*$ es una variable aleatoria discreta. En cuanto sepamos $i^*$ conocemos la media correspondiente $b_{i^*}$ es cero y no importa qué multiplicador se le aplique, la expectativa del producto es cero. Esta es mi intuición. Sin embargo, estoy buscando una prueba rigurosa, no una intuición. Creo que tengo que considerar alguna distribución sobre los índices y luego convertir la expectativa en dos expectativas y resolverla.

Nota:

Busco una prueba muy precisa y rigurosa.

Answer 1

Lo que está consiguiendo es la estadísticas de pedidos de una variable aleatoria. Es decir, dado $n$ variables aleatorias i.i.d., ¿cuál es la distribución de la $k$ -¿el mayor valor entre ellos? Por lo general, será no ser la misma que la distribución original, lo que tiene sentido, por ejemplo, la estadística de primer orden debería estar sesgada hacia la izquierda.

La distribución normal no tiene fórmulas cerradas para sus estadísticos de orden hasta donde yo sé, pero el estadístico de segundo orden entre dos variables aleatorias normales i.i.d. definitivamente tiene una expectativa mayor que $0$ . Para ver esto formalmente, dejemos $X_1, X_2 \sim \mathcal{N}(0, 1)$ y que $X_{(1)}, X_{(2)}$ sean los estadísticos de primer y segundo orden, respectivamente. Entonces $E(X_{(1)} + X_{(2)}) = E(X_1 + X_2) = 0$ . Sin embargo, $X_{(2)} > X_{(1)}$ con probabilidad $1$ por lo que se deduce que $E(X_{(2)}) > E(X_{(1)})$ . Como estas expectativas deben sumar cero, debemos tener $E(X_{(2)})$ positivo y $E(X_{(1)})$ negativo, como se desea.

Answer 2

Dejemos que $Z=i^{*}$ . Entonces

$$ E[X] = E [ E [X | Z]]=P(Z=1)E[X|Z=1]+P(Z=2)E[X|Z=2] $$

Ahora, $E[X|Z=1]= a_1 E[b_1 | b_1 > b_2]$

La expectativa del máximo de dos normales iid estándar no es trivial :

$$\frac{1}{\sqrt{\pi}} = 0.5642\cdots$$

Entonces

$$E[X] = \frac12 a_1 \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac12 a_2 \frac{1}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} ( a_1 + a_2)$$