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Problema con la integridad y teorema de $\mathsf{Con(ZFC)}$

Utilizando el teorema de reflexión podemos probar en $\mathsf{ZFC}$ que para cualquier finito $\Lambda\subseteq\mathsf{ZFC}$ hay algún límite ordinal $\gamma$ tal que $R(\gamma)\models\Lambda$. Luego por la completitud y compacidad teorema obtenemos que hay algunos de $M$ y algunos binario relación $E$ $M$ tal que $\mathsf{ZFC}\vdash[(M,E)\models \mathsf{ZFC}]$. Pero entonces, como $\mathsf{ZFC}$ no puede probar la existencia de un modelo transitivo de $\mathsf{ZFC}$, $E$ no puede ser fundada en $M$; de lo contrario el colapso transitivo de $(M,E)$ sería un modelo transitivo de $\mathsf{ZFC}$.

Podemos utilizar esto para probar que $(M,E)$ no satisface el axioma de fundación?, y si es así, ¿por qué esto no contradice $\mathsf{Con(ZFC)}$?

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Deje $\mathsf{ZFC}$ denotar la forma recursiva-axiomatised de primer orden de la teoría de ZFC, formalizado en un metatheory (es decir, de segundo orden de la aritmética) lo suficientemente fuerte para probar (el sintáctico versión de compacidad. Lévy reflexión del principio dice lo siguiente:

Para cada fórmula $\phi$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, $\mathsf{ZFC} \vdash \exists \alpha . \phi^{V_\alpha} \leftrightarrow \phi$ donde $\phi^M$ denota la relativización de $\phi$$M$.

En particular, este es un metatheorem: se trata de una cuantificación en la metatheory. Sin embargo, utilizando el teorema de compacidad, podemos llevar a cabo una versión de su argumento. Deje $\mathsf{F}$ ser el primer orden de teoría de la obtenida mediante la adición al lenguaje de la teoría de conjuntos una constante $\alpha$, con los axiomas de la $\mathsf{F}$ de los axiomas de la $\mathsf{ZFC}$ más un axioma $\phi^{V_\alpha} \leftrightarrow \phi$ para cada fórmula $\phi$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos. ($\mathsf{F}$ representa Feferman.) Entonces:

$\mathsf{F}$ es consistente si y sólo si $\mathsf{ZFC}$ es consistente.

Ahora, vamos a $\mathtt{ZFC}$ el valor del (de forma recursiva-axiomatised de primer orden) de la teoría de ZFC formalizado en $\mathsf{ZFC}$. Su reclamo es, en esencia, que "$\mathsf{F} \vdash (V_\alpha \vDash \mathtt{ZFC})$", pero esto no es correcto.

Considerar la teoría de la $\mathsf{F} + (\mathtt{ZFC} \vdash \bot)$: esta teoría es consistente si y sólo si $\mathsf{F}$ es, por la construcción de $\mathsf{F}$. Claramente, en $\mathsf{F} + (\mathtt{ZFC} \vdash \bot)$, no podemos tener a $V_\alpha \vDash \mathtt{ZFC}$. Por ello, debe ser que $\mathsf{F} \not\vdash (V_\alpha \vDash \mathtt{ZFC})$ (si $\mathsf{F}$ es consistente). Esto suena confuso, pero en realidad es bastante sencillo: si $\mathsf{F}$ (por lo tanto,$\mathsf{ZFC}$) es consistente, entonces cualquier modelo de $\mathsf{F} + (\mathtt{ZFC} \vdash \bot)$ debe contener no estándar de los números, y estos no estándar de los números implican que $\mathtt{ZFC}$ contiene no estándar de los axiomas. Así que si bien es cierto que $V_\alpha$ (en cualquier modelo de $\mathsf{F}$) (externamente) un modelo de $\mathsf{ZFC}$, no tiene que ser (internamente) un modelo de $\mathtt{ZFC}$.

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