La suma de la combinación lineal del producto de exponenciales es exponencial

Question

Este problema ha surgido en mi investigación: supongamos que $V_i \sim \text{ED}$ son distribuciones exponenciales (ED) iid con media $1$ y que $\lambda$ sea un número no negativo. ¿Es cierto que $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}? $$ Esto pasa la comprobación de cordura, ya que el valor esperado de ambos lados es igual a $1$ y si dejamos que $\lambda = 0$ entonces el lado izquierdo es igual a $V_0$ que es exponencial. Aparte de eso, no estoy seguro de cómo enfocar este problema, ya que no sé cómo tratar el producto de los DE.

Answer 1

No es una respuesta completa, lo siento, pero sí unas cuantas ideas (demasiado largas para un comentario). Tenga en cuenta que lo que tiene es un producto de $K+1$ variables aleatorias iid, donde $K$ es una variable aleatoria (rv) con una distribución poisson con parámetro $\lambda$ . Esto se puede utilizar para otra "comprobación de cordura", una simulación (utilizando exponenciales de tasa 1):

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

El resultado qqplot (no se muestra aquí) está lejos de ser una línea recta, por lo que no parece ser una exponencial de tasa 1. La media es correcta, la varianza demasiado grande, hay una cola derecha mucho más larga que la de una exponencial. ¿Qué se puede hacer teóricamente? La transformada de Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform se adapta a productos de variables aleatorias independientes. Sólo calcularé para la exponencial con tasa 1. La transformada de Mellin de $V_0$ entonces es $$ \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1) $$ por lo que la transformada de Mellin de un producto de $k+1$ iid exponenciales es $$ M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1} $$ Desde $K$ tiene una distribución poisson con parámetro $\lambda$ la transformada de Mellin del producto aleatorio de un número aleatorio $K+1$ factores, es $$ M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)} $$ pero no puedo encontrar una inversa de esta transformación. Sin embargo, hay que tener en cuenta que si $X$ es una variable aleatoria no negativa con transformada de Mellin $M_X(t)$ , entonces definiendo $Y=\log X$ encontramos que $$ K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y) $$ por lo que la transformada de Mellin de $X$ es la función generadora de momentos de su logaritmo $Y$ . Por lo tanto, utilizando esto podemos aproximar la distribución de $X$ con métodos de aproximación al punto de equilibrio, ¿Cómo funciona la aproximación al punto de equilibrio? y buscar en este sitio.