Problema de límites de cálculo

Question

La regla de L'Hopital no está permitida.

Pregunta 1: $$\lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{6+x}-2}{\sqrt{3+x}-1} = \ ?$$

Traté de cruzar multiplicar $\frac{\sqrt{6+x}-2}{\sqrt{3+x}-1}$ con $\frac{\sqrt{3+x}+1}{\sqrt{6+x}+2}$ y tengo $x+2$ tanto en el lado izquierdo como en el derecho, por lo que concluyo que $\frac{\sqrt{3+x}+1}{\sqrt{6+x}+2}$ es igual a $\frac {\sqrt{6+x}-2)}{\sqrt{3+x}-1}$ . Así, cuando sub $x = -2$ en $\frac{\sqrt{3+x}+1}{\sqrt{6+x}+2}$ Tengo $0.5$ .

Pregunta 2: $$\lim_{x\to \pi} \sin\frac{x+\pi}{x-\pi}\sin\frac{x-\pi}{x+\pi} = \ ?$$

He dicho que $\sin\frac{x-\pi}{x+\pi}$ tiende a $0$ .

Para $\sin\frac{x+\pi}{x-\pi}$ Utilizo el teorema de squeeze y digo que puede estar entre $1$ y $-1$ . Así, $\sin\frac{x+\pi}{x-\pi}\sin\frac{x-\pi}{x+\pi} = 0$ .

Answer 1

De verdad $x, \left|\sin\dfrac{x+\pi}{x-\pi}\right|\le1$

$$\lim_{x\to\pi}\sin\frac{x-\pi}{x+\pi}\sin\dfrac{x+\pi}{x-\pi}$$

$$=0\cdot\text{ a finite real number}=0$$

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$$\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt{6+x}-2}{\sqrt{3+x}-1}=\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt{3+x}+1}{\sqrt{6+x}+2}\cdot\lim_{x\to-2}\frac{6+x-4}{3+x-1}$$

$$=\frac{\sqrt{3+(-2)}+1}{\sqrt{6+(-2)}+2}\cdot1$$ como $x+2\ne0$ como $x\ne-2$ como $x\to-2$

Answer 2

Respuesta 1:

Set $x=-2+y$

$$\lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{6+x}-2}{\sqrt{3+x}-1} = \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{4+y}-2}{\sqrt{1+y}-1}$$

$$=\lim_{y\to 0} \frac{(y/4)+O(y^2)}{(y/2)+O(y^2)}=\lim_{y\to 0} \frac{y/4}{y/2}=(1/2)$$

Respuesta 2:

Set $x=\pi+y$

$$\lim_{x\to \pi} \sin\frac{x+\pi}{x-\pi}\sin\frac{x-\pi}{x+\pi} = \lim_{y\to 0} \sin\frac{y+2\pi}{y}\sin\frac{y}{y+2\pi} =I $$

$$|I|=\lim_{y\to 0} \left|\sin\frac{y+2\pi}{y}\right|\left|\sin\frac{y}{y+2\pi}\right|\le \lim_{y\to 0} 1\left|\sin\frac{y}{2\pi}\right|=0$$

Así que $I=0$