Cómo encontrar la trayectoria de acción estacionaria de un fotón

Question

Estoy intentando resolver una pregunta de "comprueba tu comprensión" de la página 393 del libro de texto Del fotón a la neurona por Nelson. La acción funcional S de la trayectoria de un fotón se propone que sea

$S [\underline X^\mu(\xi),e(\xi)] =\frac{\hbar}{2} \int d\xi (e^{-1}||\dot {\underline X}||^{2} )$

donde $\mu$ = 0,1,2, o 3. $\underline X^\mu$ son coordenadas del espacio-tiempo; $\underline X^0$ es $ct$ . El parámetro $\xi$ es algún índice a lo largo de la trayectoria. La variable $e$ se describe como una métrica necesaria para que diferentes parametrizaciones del mismo camino den la misma acción. El punto denota la diferenciación con respecto a $\xi$ y $||\dot {\underline X}||^{2}$ es el intervalo invariante de Lorentz $-(c \dot t)^2 + (\dot r)^2$ .

Se pide al lector que demuestre que la ecuación anterior es estacionaria bajo cualquier trayectoria que satisfaga

$0 = e^{-2} ||\dot {\underline X}||^{2}$ et

$e^{-1} \dot {\underline X} =$ constante.

No me queda claro si la segunda ecuación implica una suma de Einstein.

Esto es lo que he probado: He introducido una pequeña variación tanto en las coordenadas del espaciotiempo como en la métrica a lo largo de una trayectoria y he examinado la acción de esta nueva línea del mundo:

$S [\underline X^\mu+ \Delta \underline X^\mu,e + \Delta e] =\frac{\hbar}{2} \int d\xi \bigl[(e +\Delta e )^{-1}||\dot {\underline X}+\Delta\dot {\underline X} ||^{2} \bigr]$

$\approx \frac{\hbar}{2} \int d\xi (1 -\frac{\Delta e}{e} )\bigl( ||\dot {\underline X}||^2+2 \dot {\underline X}\Delta\dot {\underline X}^{2} + ||\Delta\dot {\underline X}^{2}||\bigr)$

Luego resté la acción de la línea de mundo original para obtener

$\Delta S \approx \frac{\hbar}{2} \int d\xi \bigl(\frac {2\dot {\underline X}\Delta \dot X}{e} +\frac {{\Delta \dot X}^2}{e}$ $+\frac {2 \dot X \Delta \dot X \Delta e}{e^2}$ $+\frac {\Delta \dot X^2 \Delta e}{e^2}$ $+ \frac {|| \dot X||^2 \Delta e}{e^2} \bigr)$

Me imaginé que podía descuidar los términos que eran de segundo orden en $\Delta$ . Eso deja el primer y el último término de la ecuación anterior. El último término debe ser igual a cero; esto satisface una de las dos condiciones que me propuse demostrar. Pero, ¿no debería el primero también ser igual a cero y no a una constante?

Espero que alguien pueda ayudarme a localizar mi(s) error(es), explicar si hay que variar $e$ además de $X$ y aclarar si la segunda condición expuesta es una suma de Einstein, es decir, si $\dot {\underline X} = c \dot t - \dot r$ . Gracias.

Answer 1

Es necesario expresar $\Delta S$ en función de $\Delta e$ y $\Delta X$ pero tienes $\Delta \dot{X}$ . Una integración por partes lo arreglará. Asumiendo que los límites son $\xi=0$ y $\xi=1$ ,

$$\Delta S \propto \left[2e^{-1}\dot{X}\Delta X\right]_{\xi=0}^{\xi=1}-\int 2\frac{d}{d\xi}(e^{-1}\dot{X})\Delta X+e^{-2}\|\dot{X}\|^2\Delta e\ d\xi$$

Desde $\Delta X(0)=\Delta X(1)=0$ como es habitual en un problema variacional de este tipo, te quedas sólo con la integral, y ahora puedes exigir que los factores de tus variaciones $\Delta X$ y $\Delta e$ son cero, lo que da el resultado que debías encontrar.

No entiendo tu pregunta sobre la suma de Einstein ya que no tienes índices en todo el cómputo. Pero sí, $\left(\frac{dX}{d\xi}\right)_\mu = \frac{dX_\mu}{d\xi}$ .