¿Cómo derivar la prioridad no informativa para los parámetros de localización y el parámetro de escala?

Question

Estoy leyendo esto papel en él:

Tengo mucha confusión al leerlo, lo enumeraré uno por uno:

1. Dejemos que $X$ ser distribuido como $f(x-\theta)$ que es una densidad invariante de la ubicación.

P1: La frase which is a location invariant density ¿es este un suposición o sólo una afirmación? Si esto es una afirmación, entonces Gaussian puede ser puede escribirse de esta forma, pero aparentemente es una distribución que depende de la ubicación. de la ubicación).

2. Dado que el modelo es invariable en cuanto a la ubicación, la distribución a priori debe ser invariable en cuanto a la ubicación.

P2: por qué tan fácilmente se saca la conclusión: the prior distribution should be location invariant porque the model is location invariant . Por qué molestarse en introducir $Y$ ?

P3: ¿Por qué? This lead to $\pi(\sigma)=\frac{1}{c}\pi(\frac{\sigma}{c})$ pero no sólo $\pi(\sigma)=\pi(\frac{\sigma}{c})$ ? Como se deriva, la fórmula anterior no depende de $\sigma$ ¿pero el de abajo de repente tiene la dependencia? Si sólo dejo que $A=\sigma$ , entonces debería ser $\pi(\sigma)=\pi(\frac{\sigma}{c})$ .

Answer 1

En cuanto a Q1, considero que "invariante" significa que la densidad no cambia si ambos la observación et se modifican de forma "compatible". Volviendo a tu ejemplo de una distribución gaussiana con varianza conocida y media desconocida, si cambias ambos la observación et parámetro medio añadiendo algún número constante a ambos, acabarás con la misma altura de densidad.

Es sólo una suposición de un modelo con el que estamos trabajando. A veces, cuando estamos trabajando bajo el supuesto gaussiano, es útil suponer que el parámetro de la varianza no es conocido.

La Q2 es un poco más complicada. Si la probabilidad es invariante en cuanto a la ubicación, eso significa que sólo nos da información sobre lo lejos que está la observación del centro. Si queremos utilizar una probabilidad a priori no informativa, no debería darnos información sobre, por ejemplo, la escala. Si lo hiciera, entonces esa información quedaría "sin comprobar" después de que utilicemos el teorema de Bayes para pasar de la previa a la posterior. Si lo hace, entonces no parece que la a priori sea no informativa.

La P3 tiene que ver con el teorema de la transformación. Tenga en cuenta la diferencia entre el argumento de la función de densidad y la variable aleatoria que la densidad describe. Si tenemos una prioridad para la variable aleatoria $\sigma$ y se introduce el argumento $\sigma$ evaluamos $\pi(\sigma)$ . Si transformamos $\sigma \to \theta = c\sigma$ para alguna constante positiva $c$ entonces la densidad para $\theta$ puede escribirse en términos de la densidad original como $$ \pi_{\theta}(t) = \pi_{\sigma}(t/c) \frac{1}{c}. $$ Para verificar su afirmación de que el previo debe ser proporcional a $1/c$ En este caso, sólo hay que introducir algún argumento en las dos hipótesis, y comprobar que dan la misma altura de densidad: \begin{align*} \pi_{\theta}(a) &= \pi_{\sigma}(a) \\ \pi_{\sigma}(a/c) \frac{1}{c} &= \pi_{\sigma}(a) \\ \frac{1}{a/c} \frac{1}{c} &= \frac{1}{a} . \end{align*}