Encuentre el valor máximo de $|\arg (\frac{1}{1-z})|$ para $|z|=1$

Question

$$\arg \left(\frac{1}{1-z}\right)$$ $$=\arg (1) - \arg (1-z)$$ $$=-\arg (1-z)$$ Al colocar el módulo se obtiene $$|\arg (1-z)|$$

Como es un círculo, un punto es $(1,0)$ entonces el punto más alejado es $(-1,0)$ , por lo que el arg debe ser $\pi$ . La respuesta correcta es $\frac{\pi}{2}$ . ¿Cómo es de cierto?

Creo que me equivoqué al usar $\arg (1-z)$ cuando debe ser $\arg (z-1)$ . No estoy seguro de que eso cambie las cosas, pero es un posible fallo que he notado.

Answer 1

No hay un máximo para el argumento :
Dejemos que $z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,$ entonces $1-z=2\sin(\theta/2)(\sin(\theta/2)-i\cos(\theta/2))$ y por lo tanto $$\dfrac{1}{1-z}=\dfrac{1}{2\sin(\theta/2)}(\sin(\theta/2)+i\cos(\theta/2))=\dfrac{e^{\frac{i}2\left(\pi-\theta\right)}}{2\sin(\theta/2)}$$ para $\theta\neq 0.$ Como puede ver, el cambio de argumento es $$\theta\mapsto \dfrac{\pi}2-\dfrac{\theta}2$$ para cualquier $\theta\in(0,2\pi).$

Si quieres ver esto de forma más geométrica, observa que la imagen del círculo unitario bajo la transformación (Mobius) $\dfrac{1}{1-z}$ es la línea $\Re(z)=\dfrac12$ en el que no hay ningún número complejo con un argumento máximo (o mínimo).

Answer 2

Denote los puntos $Z,O,I$ correspondiente a los números complejos $z,0,1,$ respectivamente.

$$\arg \left(\frac{1}{1-z}\right)=\arg \left(\frac{1-0}{1-z}\right)=\arg \left(\frac{0-1}{z-1}\right)$$ es el ángulo orientado entre los vectores $\vec{IZ}$ y $\vec{IO}.$ El ángulo aumenta cuando $Z$ se acerca a $I$ (en el círculo unitario) desde "arriba" o, mejor dicho, en el sentido de las agujas del reloj. El valor del ángulo se aproxima $\pi/2,$ pero esto nunca se consigue.

El valor absoluto del argumento no da para más (ver imagen): acercarse $I$ en sentido contrario a las agujas del reloj da $$\left|\arg \left(\frac{0-1}{z-1}\right)\right|\to |-\pi/2|.$$

Answer 3

Dejar $z=e^{ia}$

$1-z=2sin(a/2)e^{ia/2}$

así

$arg(1-z)=a/2$

ahora por el dominio convencional $0\le a\le \pi$ y el sustituto...