¿Cuál es el número mínimo de generadores simétricos del álgebra matricial completa?

Question

¿Se conoce algún límite inferior para el número mínimo de generadores necesarios para generar el álgebra matricial completa de reales $n\times n$ cuando se utilizan sólo matrices simétricas para los generadores?

Pregunta análoga para las matrices complejas - cuando se utilizan sólo matrices hermitianas para los generadores.

Soy consciente de que $3$ cuando sólo se utilizan generadores idempotentes. Este es un resultado de Naum Krupnik ( Número mínimo de generadores idempotentes de álgebras matriciales sobre campo arbitrario , Com. Algebra 20 (1992), nº 11, 3251-3257). ( Enlace Tandfonline, acceso restringido )

No estoy familiarizado con este tipo de resultados, por lo que esto podría ser bien conocido o fácil. Gracias por cualquier consejo.

Answer 1

Es un resultado bien conocido de Burnside que un conjunto de (digamos, reales) $n \times n$ generan el álgebra matricial completa si y sólo si no tienen un subespacio invariante común no trivial de $\mathbb C^n$ . Ahora, si una matriz $A$ es diagonalizable con valores propios distintos los únicos subespacios de $\mathbb C^n$ que son invariantes bajo $A$ son los abarcados por conjuntos de vectores propios. Así que se pueden tomar dos bases ortonormales de $\mathbb R^n$ , tal que ningún subespacio no trivial de $\mathbb C^n$ está generada por un subconjunto de la primera y un subconjunto de la segunda; entonces toma dos matrices con valores propios reales distintos, y los elementos de la primera y segunda base como vectores propios. Estos son simétricos, y generan el álgebra matricial completa.

El caso de las matrices hermitianas es completamente análogo.

Una demostración elemental del teorema de Burnside se encuentra en E. Rosenthal, A remark on Burnside's theorem on matrix algebras. Linear Algebra and its Applications 63, 1984, 175-177 ; Enlace de Sciencedirect .

Editar : Aquí hay otro artículo con una prueba aún más fácil: V. Lomonosov, P. Rosenthal. La prueba más sencilla del teorema de Burnside sobre álgebras matriciales. Linear Algebra and its Applications 383, 2004, 45-47 ; Enlace de Sciencedirect .

Answer 2

Aquí hay un argumento más directo, sin el Teorema de Burnside. Como en la respuesta de M. Karimi, dejemos que $A$ sea diagonal con entradas distintas $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$ y que $B$ sea la matriz con todas las entradas iguales a $1$ . Tenga en cuenta que $$ (A^iBA^j)_{st} = \lambda_s^i\lambda_t^j $$

Ahora dejemos que $M$ sea una variable arbitraria $n\times n$ matriz. Por interpolación de Lagrange, existe un único polinomio $$ p(x,y) = \sum_{i,j=0}^{n-1} a_{ij}x^iy^j $$ con $p(\lambda_s,\lambda_t)=M_{st}$ para todos $s$ y $t$ . Ahora es fácil comprobar que $$ M = \sum_{i,j=0}^{n-1} a_{ij}A^iBA^j. $$

Answer 3

Como respuesta, el límite inferior es exactamente $2$ . Para ello se toma una matriz diagonal de orden $n$ con todas las entradas distintas y no nulas a lo largo de la diagonal y la matriz de todos los unos de orden $n$ . De este modo, el álgebra generada por estas dos matrices simétricas es simple (es decir, irreducible), Ahora utilice el teorema de Burnside para deducir que debe ser $M_n(C)$ . Ver Laffey, Thomas J. , Un teorema de estructura para algunas álgebras matriciales , Linear Algebra Appl. 162-164, 205-215 (1992). ZBL0758.16010 .

Answer 4

Si la dimensión del espacio es por lo menos 4, entonces siempre podemos construir dos matrices simétricas con todos los valores propios distintos y ningún vector propio en común aún tienen subespacio invariante no trivial en común. Así que no pueden generar álgebra matricial simple.