¿Cómo resolver analíticamente una ecuación de convección-difusión?

Question

Para una ecuación de convección 1-d $u_t + c u_x = 0$ en $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}$ con una constante $c$ sabemos que la solución es simplemente $u(x,t)=u_0(x-ct)$ para una condición inicial $u_0 := u(x,0)$ . Sin embargo, si añadimos algo de difusión al lado derecho de la ecuación, con una constante $b$ , para tener $$ u_t + c u_x = b u_{xx} $$ entonces, ¿cómo podemos resolver analíticamente este tipo de ecuación de convección-difusión?

Desde mi punto de vista, podemos resolver la ecuación del calor $u_t = b u_{xx}$ primero, por separación de variables, y luego añadir las características de "transporte" a nuestra solución. Parece que se requiere algún conocimiento de la transformada de Fourier, con la que no estoy familiarizado, para obtener la solución de la ecuación del calor, y la forma no es fundamental sino en forma de convolución. De todos modos, supongo que podemos esperar tener una solución final de la ecuación de convección-difusión en la forma como: $$ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi b t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-ct-s)^2}{4 b t}} u(s,0) ds $$ basada en la obra del profesor Gilbert Strang nota de la conferencia .

Sin embargo, estoy cuestionando sobre la prueba en detalles que la forma anterior es exactamente la solución a la ecuación de convección-difusión dada.

Answer 1

Si considera que $v(t,x)=u(t,x+ct)$ entonces $v_t=u_t+cu_x$ y $v_{xx}=u_{xx}$ para que la ecuación en $u$ es equivalente a la ecuación del calor habitual en $v$ . Si se traduce la solución estándar de nuevo, se obtendrá la fórmula de la solución dada.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ Escribe $\ds{\on{u}\pars{x,t}}$ como $$ \on{u}\pars{x,t} \equiv \exp\pars{\alpha x - \beta t}\on{U}\pars{x,t} $$ donde $\ds{\alpha}$ y $\ds{\beta}$ son constantes .

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Entonces, \begin{align} 0 & = -\beta\exp\pars{\alpha x - \beta t}\on{U}\ + \exp\pars{\alpha x - \beta t}\on{U}_{t} \\[2mm] & + \alpha c\exp\pars{\alpha x - \beta t}\on{U} + c\exp\pars{\alpha x - \beta t}\on{U}_{x} \\[2mm] & -b\alpha^{2}\exp\pars{\alpha x - \beta t}\on{U} - 2b\alpha\exp\pars{\alpha x - \beta t}\on{U}_{x} \\[2mm] & -b\exp\pars{\alpha x - \beta t}\on{U}_{xx} \end{align} Por lo tanto, \begin{align} 0 & = \pars{\color{red}{-\beta + \alpha c - b\alpha^{2}}} \on{U} + \pars{\color{red}{c - 2b\alpha}}\on{U}_{x} + \on{U}_{t} - b\on{U}_{xx} \end{align} Ahora, elijo $\ds{\color{red}{-\beta + \alpha c - b\alpha^{2}} = 0}$ y $\ds{\color{red}{c - 2b\alpha} = 0}$ $\ds{\implies \bbx{\alpha = {c \over 2b}}}$ y $\ds{\bbx{\beta = {c^{2} \over 4b}}}$

Entonces, \begin{align} \on{u}\pars{x,t} & = \exp\pars{{c \over 2b}\,x - {c^{2} \over 4b}\,t}\on{U}\pars{x,t} \\[2mm] & \mbox{where}\ \on{U}\pars{x,t}\ \mbox{satisfies}\ \bbx{\on{U}_{t} = b\on{U}_{xx}} \\ & \end{align}