Prueba que implica un conjunto convexo

Question

Entonces, el problema es en realidad de una clase de microeconomía. El problema es el siguiente:

Si las preferencias están representadas por una función de utilidad $u(x,y)=xy$ , demuestran que estas preferencias son convexas.

Ahora, en caso de que no lo sepas, en economía, "preferencias convexas" significa preferencias tales que el conjunto de preferencias que son al menos tan preferidas a algún paquete es convexo. Así que básicamente lo que esto significa es que tengo que demostrar esto:

Dejemos que $0\le t\le 1$

si $u(x_1,y_1)=u(x_2,y_2)$ entonces $u(tx_1+(1-t)x_2,ty_1+(1-t)y_2)\ge u(x_1,y_1)$ .

así que $x_1y_1\le (tx_1+(1-t)x_2)(ty_1+(1-t)y_2)$ .

Ahora, he tratado de ampliar esto y factorizar de todas las maneras diferentes, y siento que no estoy llegando a ninguna parte. ¿Estoy haciendo esto de manera incorrecta al tratar de expandir esto? ¿Hay alguna forma más sencilla? Si alguien pudiera darme algún tipo de pista sería increíble.

Gracias.

Answer 1

Desde $x_1y_1=x_2y_2$ lo que se quiere demostrar es equivalente a $$tx_1y_1+(1-t)x_2y_2\leqslant(tx_1+(1-t)x_2)(ty_1+(1-t)y_2). $$ Expandiendo el lado derecho, se ve que el lado derecho menos el lado izquierdo es $$t(1-t)(x_1y_2+x_2y_1-x_1y_1-x_2y_2)=t(1-t)(x_1-x_2)(y_2-y_1). $$ Utilizando $x_1y_1=x_2y_2$ una vez más, sabes que $x_1>x_2$ implica $y_1<y_2$ y que $x_1<x_2$ implica $y_1>y_2$ por lo que el último producto es siempre no negativo. Hecho.