Demuestre que no existe ningún morfismo no constante de $\mathbb{A}^1\rightarrow E = Z(Y^2-X^3+X)$

Question

Creo que se supone que esto es sobre un campo arbitrario $K$ pero si sólo es cierto cuando $K$ es, digamos, algebraicamente cerrado, entonces siéntete libre de asumir cualquier condición que se requiera para que la afirmación sea verdadera.

Si $\varphi$ es un morfismo entre las dos variedades, entonces $\varphi(z) = (f(z),g(z))$ para algunos polinomios $f$ y $g$ satisfaciendo $g^2=f(f-1)(f+1)$ . Creo que esta es probablemente la forma de mostrar que $f$ y $g$ debe ser constante, pero sólo puedo obtener restricciones superficiales en $f$ y $g$ . (Como $2\deg(g)=3\deg(f)$ ).

Creo que me estoy perdiendo algo obvio, pero no consigo averiguar qué es.

Answer 1

Creo que la forma en que lo enfocas es correcta. Tiene que demostrar que $f(f-1)(f+1)$ no tiene raíz cuadrada en $k[x]$ si $f$ no es constante.

Supongamos que se puede encontrar la no-constante $g$ y $f$ en $k[x]$ tal que $$g^{2} = f(f+1)(f-1).$$ Entonces, esto debe ser cierto si pasamos al cierre algebraico de $k$ . Por lo tanto, asuma $k$ es algebraicamente cerrado. Entonces, $g$ se divide y no es una constante y por lo tanto podemos escribir $$g(x) = \prod_{i=1}^{n} (x - \alpha_{i}).$$

Así, tenemos $(x - \alpha_{i})^{2}$ divide el producto $f$ , $f - 1$ , $f +1$ pero estos tres polinomios son relativamente primos por parejas y por tanto no comparten un factor irreducible. Por lo tanto, $(x - \alpha_{i})^{2}$ divide uno de los $f$ , $f - 1$ , $f + 1$ . Además, si $x - \beta_{i}$ divide una de $f$ , $f- 1$ , $f + 1$ , entonces divide $g^{2}$ y por lo tanto $(x - \beta_{i})^{2}$ debe dividir uno de $f$ , $f - 1$ , $f + 1$ ya que divide su producto.

El resultado del párrafo anterior es que cada uno de $f$ , $f - 1$ , $f + 1$ es un cuadrado en $k[x]$ . Pero esto es imposible a menos que $f$ es constante (se puede demostrar esto induciendo en el grado si el grado es positivo).