subconjuntos en el sistema proyectivo

Question

Dejemos que $\{Z_i\}$ un sistema proyectivo dirigido de espacios topológicos cuasi-compactos con límite proyectivo $Z$ . Supongamos que nos dan subconjuntos abiertos $U_i \subseteq Z_i$ tal que:

1) Para cada $i \leq j$ la preimagen $(Z_j \to Z_i)^{-1}(U_i)$ está contenida en $U_j$ .

2) Para cada $i$ la preimagen $(Z \to Z_i)^{-1}(U_i)$ es igual a $Z$ .

¿Se deduce que $U_i = Z_i$ para algunos $i$ ?

Si no es así, suponga que $\{Z_i\}$ es en realidad un sistema de esquemas afines y morfismos de esquemas. Entonces es cierto por (EGA IV, Corollaire 8.3.4). Pero me pregunto si hay una prueba directa que evite todos estos lemas desagradables sobre los conjuntos ind-construibles ...

Answer 1

No necesariamente. Por ejemplo, dejemos que $X=[0,1]$ con la topología generada por los conjuntos $[t,1]$ para cada $t\in [0,1]$ . Sea $Z_t=[t,1]\subseteq X$ para $t\in[0,1)$ con mapas $Z_s\to Z_t$ para $s\geq t$ dado por la inclusión. Cada $Z_t$ es cuasicompacto, y su límite proyectivo es simplemente $\{1\}$ . Sea $U_t=\{1\}$ para cada $t$ . Entonces esto satisface sus condiciones, pero $U_t\neq Z_t$ para todos $t$ .