Lo que se suele hacer en estas situaciones es crear precisamente lo que se necesita y luego desarrollarlo a partir de ahí. Para la primera utilizamos la función signum o signo $\operatorname{sgn}(x)$ destinado a $1$ . Voy a explicar lo que estoy haciendo para que quede claro.
Necesitas $-x+1$ hasta $1$ y luego en $y=0$ .
Observe que $$\frac{1}{2}(1 \pm \operatorname{sgn}(x))$$ está cortando el lado izquierdo o derecho dependiendo del signo en $1\pm$ . Necesitamos que el lateral derecho se vaya después de $1$ . Primero necesitamos $\frac{1}{2}(1 - \operatorname{sgn}(x))$ y luego tenemos que desplazarlo por $1$ o
$$\frac{1}{2}(1 - \operatorname{sgn}(x-1))$$
En conjunto, la función es
$$f(x)=\frac{1}{2}(1 - \operatorname{sgn}(x-1))(1-x)$$
Ahora viene la parte en la que quieres tener $f'(x)=0$ en $1$ . Pero esto es algo complicado porque si ese es el primer valor extremo, entonces hay que tener otro antes de llegar a $0$ de nuevo. Así que tengo que asumir que se necesita un pequeño min positivo en $1$ .
Antes de eso, si quieres una versión más suave de $\operatorname{sgn}(x)$ tiene bastantes opciones como $\operatorname{sgn}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+\epsilon}}$ para algunos pequeños $\epsilon$ .
Técnicamente hablando, su función deseada es ésta:
$$f(x)=\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2}(1 - \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+\epsilon}})(1-x)$$
sin ese mínimo en $1$ . Puedes quedarte con este si quieres.
Ahora para el mínimo se necesita una función que sea $1$ en todas partes excepto en $0$ donde está $0$ . Eso sería lo ideal, ya que podemos cambiarlo a $1$ y ahí vamos. Similar a $\operatorname{sgn}(x)$ Podríamos construir una función de este tipo, pero partamos de algo parecido. Ahora se pueden utilizar muchas funciones en su lugar, pero esta es probablemente la forma más sencilla posible
$$g(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$$
Claro, esta función es $0$ en $0$ y en algún lugar de sus alrededores se convierte en $1$ . Si añade $k \gg 1$ se convertirá en algo tan apretado como usted quiera alrededor de $0$ .
$$g_k(x)=\frac{kx^2}{kx^2+1}$$
No olvides que lo necesitamos desplazado por lo que ahora la función completa es
$$f_k(x)=\frac{1}{2}(1 - \operatorname{sgn}(x-1))(1-x)\frac{k(x-1)^2}{k(x-1)^2+1}$$
Lo bueno de esta función es que es suave independientemente de $\operatorname{sgn}(x)$ .
Por supuesto, se trata de una familia de funciones, pero esto se debe a que no se puede tener $f'(x)=0$ después de algún punto indefinidamente y la función para ser suave y no constante. Así que constante $k$ está compensando, creará una pequeña protuberancia alrededor de $1$ que puede regular.
Observe que su función es $\lim\limits_{k \to \infty} f_k(x)$
Ahora viene la segunda función. Bueno, ya deberías ser capaz de hacerlo tú mismo, ¿no?
La primera parte es bastante clara
$$f(x)=\frac{1}{2}(1 - \operatorname{sgn}(x-1))(1-\frac{1}{2}x)$$
Necesitas un corte en $1$ y la pendiente es $-0.5$ .
El resto es entonces lo mismo que antes, así que en total el cambio es minúsculo:
$$f_k(x)=\frac{1}{2}(1 - \operatorname{sgn}(x-1))(1-\frac1{2}x)\frac{k(x-1)^2}{k(x-1)^2+1}$$
