El principio de esta respuesta aborda la cuestión original de encontrar $P(X > \max\{Y, Z\})$ . La OP añadió más contexto a la pregunta después; lo abordo al final de esta respuesta.
[Asumiendo la independencia de $X,Y,Z$ .]
Tenga en cuenta que $P(X > \max\{Y, Z\}) = P(X > Y> Z) + P(X > Z > Y)$ .
\begin{align} P(X>Y>Z) &= \int_0^\infty \lambda_Z e^{-\lambda_Z z}\int_z^\infty \lambda_Y e^{-\lambda_Y y}\int _y^\infty \lambda_X e^{-\lambda_X x} \, dx \, dy \, dz \\ &= \int_0^\infty \lambda_Z e^{-\lambda_Z z}\int_z^\infty \lambda_Y e^{-\lambda_Y y} e^{-\lambda_X y} \, dy \, dz \\ &= \int_0^\infty \lambda_Z e^{-\lambda_Z z} \frac{\lambda_Y}{\lambda_X+ \lambda_Y} e^{-(\lambda_X + \lambda_Y) z}\, dz \\ &= \frac{\lambda_Y}{\lambda_X + \lambda_Y} \cdot \frac{\lambda_Z}{\lambda_X + \lambda_Y + \lambda_Z}. \end{align} El otro término $P(X>Z>Y)$ puede calcularse de forma similar.
Verificación con la simulación de BruceET: $$\frac{\lambda_Y}{\lambda_X + \lambda_Y} \cdot \frac{\lambda_Z}{\lambda_X + \lambda_Y + \lambda_Z} + \frac{\lambda_Z}{\lambda_X + \lambda_Z} \cdot \frac{\lambda_Y}{\lambda_X + \lambda_Y + \lambda_Z} = \frac{1/3}{7/12} \frac{1/2}{13/12} + \frac{1/2}{3/4} \frac{1/3}{13/12}=\frac{128}{273} \approx 0.46886$$
Una idea de última hora:
Después de ver la expresión para $P(X>Y>Z)$ y señalando que $\min\{X,Y\} \sim \text{Exponential}(\lambda_X + \lambda_Y)$ Uno podría verse tentado a hacer lo siguiente:
\begin{align} P(X>Y>Z) &= P(Y<X) P(Z < \min\{X,Y\} \mid Y<X) \\ &\overset{?}{=} P(Y<X) P(Z < \min\{X,Y\}) \\ &= \frac{\lambda_Y}{\lambda_X + \lambda_Y} \cdot \frac{\lambda_Z}{\lambda_X + \lambda_Y + \lambda_Z}. \end{align} Sin embargo, la verificación del paso marcado con "?" requiere cierto cuidado. En general, la distribución de $\min\{X,Y\}$ depende del evento $X<Y$ pero en el caso especial de variables aleatorias exponenciales independientes, $\min\{X,Y\}$ no depende de este evento. Esto puede verificarse explícitamente con integrales de la siguiente manera. $$P(\min\{X,Y\} > t \mid Y<X) = \frac{P(X>Y>t)}{P(X>Y)} = \frac{\frac{\lambda_Y}{\lambda_X+\lambda_Y} e^{-(\lambda_X + \lambda_Y) t}}{\frac{\lambda_Y}{\lambda_X+\lambda_Y}} = e^{-(\lambda_X + \lambda_Y) t} = P(\min\{X,Y\}>t)$$ (Creo que se podría justificar alternativamente con un falta de memoria argumento).
Actualización después de que el OP añadiera el contexto:
Las simulaciones de Stacker sugieren que la respuesta a la pregunta original "¿Cuándo es D el último en salir?" es $1/3$ . Tu trabajo casi lo consigue, excepto que introduces los números equivocados. Puedes utilizar el resultado anterior para demostrar que $P(T_1 > \max\{T_2, T_3\}) = \frac{1}{3}$ . El otro término $P(T_1 < \min\{T_2, T_3\})$ también es $1/3$ si observa que $\min\{T_2, T_3\}$ es exponencial con media $5/2$ .
Pero porque $T_1,T_2,T_3$ se distribuyen de forma idéntica, se puede utilizar la simetría para notar inmediatamente que ambos son $1/3$ : cada una de las tres casillas tiene la misma probabilidad de terminar primero o de terminar último. Así que se puede omitir la complejidad del subproblema de calcular $P(X > \max \{Y,Z\})$ en conjunto.
Enchufar $1/3$ en cada término de su expresión da $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ que coincide con las simulaciones de Stacker.
Además, al llegar al $P(T_1 > \max\{T_2, T_3\}) P(T_1 < \min\{T_2, T_3\}) + \cdots$ expresión en su intento implica una falta de memoria argumento que no debe ser glosado (es decir, dado que A termina primero, el tiempo adicional que B necesita para terminar es también exponencial con la misma media, etc.), pero le daré el beneficio de la duda.
