¿Es el teorema de completitud de Gödel lo mismo que la "completitud semántica"?

Question

Wikipedia

Un conjunto de axiomas es (sintácticamente, o por negación) completo si, para cualquier lenguaje de los axiomas, ese enunciado o su negación es demostrable a partir de los axiomas (Smith 2007, p. 24). Esta es la noción relevante para el primer teorema de Incompletitud de Gödel.

No debe confundirse con integridad semántica lo que significa que el conjunto de axiomas demuestra todas las tautologías semánticas del lenguaje dado.

En su teorema de completitud, Gödel demostró que la lógica de primer orden es semánticamente completa. Pero no es sintácticamente completa, ya que hay oraciones expresables en el lenguaje de la lógica de primer orden que no pueden ser probadas ni refutadas a partir de los axiomas de la lógica por sí solos.

¿Es la definición de "completitud semántica" la misma que un conjunto $S$ de oraciones se dice que es semánticamente completa, si cuando $\models \phi$ para una frase $\phi$ entonces $S \vdash \phi$ ?

Es $\phi$ siendo una tautología definida como $\models \phi$ ?

Es el teorema de completitud de Gödel que en la lógica de primer orden, siempre que $\Phi \models \phi$ , $\Phi \vdash \phi$ ?

¿Es el teorema de completitud de Gödel lo mismo que la "completitud semántica"?

Answer 1

Yo no pensaría en términos de que un conjunto de axiomas / oraciones sea semánticamente completo... esa no es la forma correcta de verlo. En cambio, esta noción de completitud es una propiedad de todo el sistema deductivo. Un sistema deductivo $\vdash$ es completa con respecto a la noción de vinculación semántica $\models$ si para cualquier teoría $T$ y sentencia $\phi,$ $T\vdash \phi$ siempre que $T\models \phi.$ (La dirección inversa, que $T\models \phi$ siempre que $T\vdash \phi$ se llama solidez).

El teorema de completitud dice que cualquiera de los muchos sistemas deductivos equivalentes para la lógica de primer orden es completo con respecto a la vinculación de primer orden. En otras palabras, un enunciado es demostrable a partir de una teoría $T$ siempre que sea cierto en todos los modelos de $T.$ El teorema de solidez inverso, según el cual ser demostrable implica ser verdadero en todos los modelos, también se cumple y es mucho más fácil.

(La razón por la que es erróneo equiparar un sistema deductivo con sus axiomas lógicos es que muchos sistemas deductivos están orientados a las reglas y no a los axiomas, e incluso dos sistemas orientados a los axiomas pueden tener reglas diferentes. Un sistema deductivo es el todo... no puedes olvidarte de las reglas).