Mostrar el ideal $I=(x^{2}-y,z-1)$ es primo en $K[x,y,z]$

Question

Mi tarea es demostrar que el ideal $I=(x^{2}-y,z-1)\subset K[x,y,z]$ es su propio radical donde $K$ es un campo algebraicamente cerrado.

Traté de proceder de manera obvia.

Dejemos que $\varphi:K[x,y,z]\rightarrow K[x]$ ser evaluación $f(x,y,z)\mapsto f(x,x^{2},1)$ . Es trivial demostrar que $I\subset\ker\varphi$ pero la otra inclusión no es tan trivial. Esto es lo que he intentado. Escribe $f(x,y,z)$ como un polinomio en $z$ , $f(x,y,z)=\sum_{i=0}^{N}f_{i}(x,y)z^{i}$ . Entonces $f(x,x^{2},1)=\sum_{i=0}^{N}f_{i}(x,x^{2})=0$ . A partir de aquí estoy atascado porque no tenemos ni idea de cómo mostrar cada $f_{i}(x,y)$ es divisible por $x^{2}-y$ .

Otro enfoque que intenté adoptar fue mostrar que $I$ es su propio argumento radical por elemento, pero que fracasó estrepitosamente.

Me gustaría mostrar esto sin el uso de la base de Groebner o la división larga multinomial. La razón es que este es uno de los ejercicios de Hartshorne y no toca esas cosas en absoluto. No se trata de una tarea para calificar sino de un enriquecimiento cultural. Gracias de antemano.