Maximizar la superficie lateral de una pirámide cuadrada en una esfera

Question

Tengo que resolver el siguiente problema.

Descripción de la tarea: Una esfera con el radio de $10$ contiene una pirámide con el superficie lateral máxima ( $M_{max}$ ). Encuentre $M_{max}$ .

Necesito dos términos. Uno de ellos es el siguiente, pero no encuentro el segundo.

Answer 1

Dejemos que $S=(0,0,1)$ , dejemos que $P$ sea uno de los puntos base, y que $\alpha:=\angle(OSP)$ . Entonces la longitud de las aristas ascendentes es $2\cos\alpha$ y la longitud de la diagonal base es $2\sin(2\alpha)$ . Se deduce que las paredes laterales de la pirámide son triángulos isósceles con base $\sqrt{2}\sin(2\alpha)$ y la altura $$h=\sqrt{4\cos^2\alpha-\sin^2(2\alpha)/2}\ .$$ Por lo tanto, la superficie lateral total $M$ viene dada por $$M=4{1\over2}\sqrt{2}\sin(2\alpha)\, h=8\sin\alpha\ \cos^2\alpha\sqrt{2-\sin^2\alpha}\ .$$ Poniendo $\sin\alpha=:s$ ahora tenemos que maximizar la función $$f(s):=s(1-s^2)\sqrt{2-s^2}\qquad(0\leq s\leq 1)\ .$$ Haciendo los cálculos se obtiene $s_{\rm opt}=\sqrt{1-1/\sqrt{2}}$ .