Si $u$ es armónico, demuestre que $|Du|^2$ es subarmónico.

Question

Nosotros decimos $v \in C^2(\bar{U})$ es subarmónico si $-\Delta v \le 0$ en $U \subset \mathbb{R^n}$ .

Demostrar que $v := |Du|^2$ es subarmónico, siempre que $u$ es armónico.

Este es el Ejercicio 5, parte d, en PDE Evans, 2ª edición. Aquí está el trabajo que he intentado hasta ahora:

• $Du = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^n u_{x_i}$
• $\Delta u = \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}$
• (Estoy trabajando con $x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ .)

Desde $u$ es armónico, $\Delta u =0$ . Tenemos lo siguiente (disculpas por los errores algebraicos en el camino):

\begin{align} \Delta v &= \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} |Du|^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \left(\sum_{i=1}^nu_{x_i} \right)^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \left(2\sum_{i=1}^nu_{x_i} \cdot u_{x_i x_i} \right) \\ &= \sum_{i=1}^n \left(2\sum_{i=1}^n u_{x_i x_i} \cdot u_{x_i x_i} + \sum_{i=1}^n u_{x_i} \cdot u_{x_i x_i x_i} \right) \\ &= \sum_{i=1}^n \left(\Delta u \cdot u_{x_i x_i} + |Du| \cdot u_{x_i x_i x_i} \right) \\ &= ??? \end{align}

Básicamente, estoy perdido en un mar de reglas de diferenciación para $\mathbb{R}^n$ . Probablemente mi álgebra también sea incorrecta. ¿Cómo puedo arreglar esto y/o proceder? Estoy tratando de establecer que $\Delta v \ge 0$ , lo que significa que $-\Delta v \le 0$ por lo que por definición $v := |Du|^2$ es subarmónico como se requiere.

Answer 1

No lo pienses demasiado. Es más fácil tomar las cosas de una en una, y luego sumar sobre los índices.

Dejemos que $\nu = |Du|^2 = \sum_{i=1}^n (u_{x_i})^2$ . Entonces $$ \frac{\partial}{\partial x_j}\nu = 2\sum_{i=1}^n u_{x_i}u_{x_ix_j} $$ y $$ \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}\nu = 2\left[ \sum_{i=1}^n u_{x_i}u_{x_ix_jx_j} + \sum_{i=1}^n (u_{x_ix_j})^2 \right]. $$ Considere el primer término del paréntesis y sume sobre $j=1,\ldots, n$ . Obtenemos $$ \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n u_{x_i}u_{x_ix_jx_j} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_{x_i}u_{x_ix_jx_j} = \sum_{i=1}^n u_{x_i}(\Delta u)_{x_i}. $$ Ahora ya hemos terminado; deberías poder completar el resto de la prueba.