Deje $a_n = (n+1)q_{n+1}$. Tenemos $a_0 = a_1 = 1$ y
$$(n+1)a_n = 1 + na_{n-1} + 2a_{n-2}\quad\text{ for }\quad n > 1\tag{*1}$$
Deje $f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n$, multiplicar $(*1)$ $z^n$ y empezar a sumar de a $n = 2$, obtenemos
$$\begin{align}
& \left(z\frac{d}{dz} + 1 \right)(f(z) - 1 - z) = \frac{z^2}{1-z} + \left(z\frac{d}{dz}\right)(z(f(z)-1)) + 2z^2f(z)\\
\iff &
zf' + f - 1 -2z = \frac{z^2}{1-z} + z^2 f' + zf - z + 2z^2 f\\
\iff &
z(1-z)f' + (1-z-2z^2)f = \frac{1}{1-z}
\end{align}
$$
La resolución de la educación a distancia nos dan
$$f(z) = \frac{1-e^{-2z}}{2z(1-z)^2} = \frac{A}{(1-z)^2} + \frac{B}{(1-z)} + g(z)\tag{*2}$$
donde
$\displaystyle\;\begin{cases}
A &= \frac{1-e^{-2}}{2}\\
B &= \frac{1-3e^{-2}}{2}\\
\end{casos}\;
$
y $g(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty g_n z^n$
es una función analítica sobre todas las $\mathbb{C}$.
La expansión de $(*2)$ como una potencia de la serie y comparar los coeficientes de $z^n$ en ambos lados, obtenemos
$$(n+1)q_{n+1} = a_n = (n+1)A + B + g_n$$
Desde $g(z)$ es todo, sus coeficientes de expansión de taylor $g_n$ está acotada.
Como resultado,
$$
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} q_{n+1}
&= A + \lim_{n\to\infty} \frac{B + g_n}{n+1} = A = \frac{1 - e^{-2}}{2}\\
&\approx 0.432332358381693654053000252513757798296184227045212059265
\end{align}
$$
