Comprobación de pruebas: El número de elementos de $\mathbb{F}_{p^{n}}$ de la forma $a^{p}-a$ para algunos $a \in \mathbb{F}_{p^{n}}$ .

Question

Considere el mapa $\varphi:\mathbb{F}_{p^{n}} \rightarrow \mathbb{F}_{p^{n}}$ definido por $x \mapsto x^{p}-x$ . Desde $(a+b)^{p}= a^{p}+b^{p}$ para todos $a,b \in \mathbb{F}_{p^{n}}$ tenemos que $\varphi$ es un homomorfismo. Un elemento de $\mathbb{F}_{p^{n}}$ puede escribirse de la forma $a^{p}-a$ si está en Im $(\varphi)$ por lo que basta con encontrar $|$ Soy $(\varphi)|$ que es igual a $\mathbb{F}_{p^{n}}/K$ donde $K=$ ker $\varphi=\{a \in \mathbb{F}_{p^{n}} : a^{p}-a = 0\}$ . Así que, en particular, si $a \in$ ker $\varphi$ entonces $a$ es una raíz del polinomio $x^{p}-x$ que es un polinomio separable por lo que tiene precisamente $p$ raíces. Desde $a^{p}=a$ para todos $a \in \mathbb{F}_{p} \subseteq \mathbb{F}_{p^{n}}$ que es todo $p$ de las raíces, tenemos $|$ ker $\varphi| = p$ . Por lo tanto, $|$ Soy $(\varphi)|=p^{n-1}$ por lo que este es el número de tales elementos.

Estoy bastante seguro de que esto funciona, pero ¿hay alguna manera más fácil o más corta?

Answer 1

Tu método es esencialmente como lo hago yo cuando enseño esta parte (y como se hace en la literatura). Bien hecho.

Un resultado relacionado que se da a menudo en este contexto es la siguiente descripción de la imagen.

$$\operatorname{im}(\phi)=\{a\in\Bbb{F}_{p^n}\mid tr(a)=0\}=\operatorname{ker}(tr),$$ donde $$tr(x)=x+x^p+x^{p^2}+\cdots+x^{p^{n-1}}$$ es el mapa de trazos $tr:\Bbb{F}_{p^n}\to \Bbb{F}_p$