¿Qué es este patrón se llama?

Question

Copia De La Historia

Me interesé en los patrones en la multiplicación de las tablas de diferentes bases de los sistemas de números de hace un rato. Específicamente, el modelo que se ha hecho por el último dígito de cada número en la tabla de multiplicación. Así, en base 10 tendría este aspecto:

1|2|3|4|5|6|7|8|9|0
2|4|6|8|0|2|4|6|8|0
3|6|9|2|5|8|1|4|7|0
4|8|2|6|0|4|8|2|6|0
5|0|5|0|5|0|5|0|5|0
6|2|8|4|0|6|2|8|4|0
7|4|1|8|5|2|9|6|3|0
8|6|4|2|0|8|6|4|2|0
0|0|0|0|0|0|0|0|0|0

Pensé que era interesante que cuando se mueve a los sistemas de numeración con diferentes bases, los patrones no siga la serie. Que siga la posición relativa en el sistema de número. E. g., en base 12, el patrón es 6,0,6,0,6......

Imágenes

Entonces me di cuenta, yo podía ver el patrón que mejor si me acaba de asignar a cada número de un color. Empecé con el uso de 10 en escala de grises colores, con 0 siendo negro y 9 de blanco. Así que ahora en base 10 se parece a esto:

Entonces, pensé que realmente podría usar tantos colores como yo quería, y a ver si un patrón más amplio de las formas. El uso de todos en escala de grises de 256 colores, me encontré con esta imagen que representa a una base de 256 tabla de multiplicación:

O podría ir desde el negro hasta el blanco al negro, y suavizar la imagen:

Yo podría incluso ir a través del espectro de color: (Esta imagen está vinculada, porque es muy grande)

Base 2040

Animación

Me decidí a animar el patrón para ver mejor lo que estaba pasando. Para ello, he definido mi 1-n escala de colores como [w,w,w,w,b,b,b,b,b,b,b,b....]. Donde w es blanco y b es negro. Me gustaría crear un marco, cambio de mis colores abajo una [b,w,w,w,w,b,b,b,b,b,b,b....], y crear el siguiente fotograma. Me repite esto hasta que los colores plenamente en bicicleta y tengo esta imagen animada. Aquí es de baldosas. Y aquí es un gran mosaico RGB versión mosaico RGB

¿Qué es este patrón se llama?

Mi pregunta es, ¿qué es este patrón se llama? Estoy teniendo un tiempo difícil encontrar nada al respecto. Parece ser un montón de curvas hiperbólicas impuestas en cada uno de los otros. Hay un montón de "estrellas" en las esquinas de donde se iba a dividir la imagen en 4ths, 9ths, etc.

Cualquier información sobre este sería apreciada.

Answer 1

Lo que he descubierto es esencialmente la aritmética modular. Mirando sólo el último dígito de un producto (en cualquier base de que usted está mirando en este momento, usted está diciendo 'no me importa acerca de las cosas que difieren por múltiplos de $n$; quiero considerar como el mismo dígito'. Por ejemplo, en la base de $7$, $5\times 2=10_{10}=13$ tiene la misma último dígito como $4\times 6=24_{10}=33$; ponemos ambos de estos números en una cubeta con la etiqueta '$[3]$', junto con $3$, $23=17_{10}$, $43=31_{10}$, etc. En matemáticas, cuando hablamos de $31 \bmod 7$ que a veces sólo se trata de la cantidad de $3$ (es decir, la "etiqueta" en este cubo que está entre $0$ y $6$, pero es a menudo conveniente pensar en ella como la representación del conjunto de la cubeta: cualquier número que destacamos de la $[3]$ balde, cuando añadimos a un número en el $[2]$ balde, sabemos que nuestro resultado estará en los $[5]$ cubo, y cuando multiplicamos un número en el $[3]$ cubeta por un número en el $[4]$ balde, sabemos que nuestro resultado estará en los $[5]$ balde; etc. "Los últimos dígitos" son sólo una manera conveniente de hablar acerca de estos cubos (a pesar de que las cosas se ponen un poco sketchier cuando usted habla acerca de los números negativos - tenga en cuenta que de acuerdo a estas reglas, $-3$ entra en el $[4]$ cubo!).

Mientras tanto, las bandas en su patrón son en realidad (piezas de) hipérbolas. Ya que $a\times (n-b)\equiv -(a\times b)\pmod$ n (la instrucción '$x=y\pmod n$' es una manera matemática de la frase '$x$ y $y$ son en el mismo balde en base de $n$'; aquí, la diferencia entre $a\times (n-b)$ y $(a\times b)$ es $a\times n$), el extremo derecho es esencialmente un reflejo de la izquierda, y de manera similar, la parte inferior es un reflejo de la parte superior. Si usted reorganizar los cuatro trimestres de su cuadrado, de manera que el centro de simetría es (lo que antes era) la esquina superior izquierda — es decir, llevar $a\ B\cima de C\ D$ a $D\ C\cima de la B\$ y, a continuación, poner el origen en el centro de las bandas va a ser exactamente (versiones a escala) de la hyperbolae $xy=C$ (que son los hyperbolae $y^2-x^2=2C$ girado por $45^\circ$). Esto sucede porque cada "ciclo" de negro a blanco o de negro a blanco a negro que estarán separados por un múltiplo de $n$; por ejemplo, la primera transición entre los ciclos se produce a lo largo de la hipérbola $xy=n$; el segundo a lo largo de la hipérbola $xy=2n$; etc.

(Como para las franjas de moiré, que están relacionadas con la forma habitual que este tipo de patrones se generan, y en particular que es de alguna manera relacionados con el alias de cerca el límite de Nyquist cuando la frecuencia entre hiperbólico bandas empieza a llegar cerca de la frecuencia de la 'píxeles' eres el muestreo, pero eso es otra historia...)

Answer 2

Puede ser un modelo de gráficos de computación $f_n(x,y)=n\left[\frac{xy}{n}\right]$, donde aquí los corchetes son ad-hoc notación para significar tomar la parte fraccionaria (o "reducir modulo 1"). Esto se lleva $z=xy$ y lo corta en un montón de horizontal hyperbolae, el colapso de la gráfica como una lente de Fresnel. Entonces, lo que estamos haciendo es el muestreo de $f_n$ entero puntos $\{(i,j)\in\mathbb{Z}^2:1\leq i,j\leq n\}$, pero $f_n$ oscila más rápido que su cuadrícula de ejemplo, que conduce a un efecto de Muaré.

Answer 3

Estos serían los poderes en una transformada de Fourier discreta de la matriz: http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform_(general)