¿Cómo se llama este patrón?

Question

Trasfondo

Hace un tiempo, me interesé en los patrones en las tablas de multiplicar para diferentes sistemas numéricos de base. Específicamente, el patrón hecho por el último dígito de cada número en la tabla de multiplicar. Por ejemplo, en base 10 se vería así:

1|2|3|4|5|6|7|8|9|0
2|4|6|8|0|2|4|6|8|0
3|6|9|2|5|8|1|4|7|0
4|8|2|6|0|4|8|2|6|0
5|0|5|0|5|0|5|0|5|0
6|2|8|4|0|6|2|8|4|0
7|4|1|8|5|2|9|6|3|0
8|6|4|2|0|8|6|4|2|0
9|8|7|6|5|4|3|2|1|0
0|0|0|0|0|0|0|0|0|0

Pensé que era interesante que al pasar a sistemas numéricos con bases diferentes, los patrones no siguen al número. Siguen la posición relativa en el sistema numérico. Por ejemplo, en base 12, el patrón es 6,0,6,0,6......

Imágenes

Luego me di cuenta de que podía ver mejor el patrón si simplemente asignaba a cada número un color. Comencé utilizando 10 colores de escala de grises, siendo el 0 negro y el 9 blanco. Entonces ahora la base 10 se ve así:

Luego, me di cuenta de que realmente podía usar tantos colores como quisiera, y ver si se forma un patrón más grande. Usando los 256 colores de escala de grises, creé esta imagen que representa una tabla de multiplicar base 256:

O podría ir de negro a blanco a negro, y suavizar la imagen:

Animación

Decidí animar el patrón para ver mejor qué estaba pasando. Para hacer esto, definí mi escala de colores de 1 a n como [w, w, w, w, b, b, b, b, b, b, b....]. Donde w es blanco y b es negro. Creaba un fotograma, desplazaba mis colores uno hacia abajo [b, w, w, w, w, b, b, b, b, b, b, b....], y creaba el siguiente fotograma. Repetía esto hasta que los colores se ciclaran completamente y obtuve esta .

Aquí hay un sitio donde puedes modificar la configuración.

¿Cómo se llama este patrón?

Mi pregunta es, ¿cómo se llama este patrón? Me está costando encontrar información al respecto. Parece ser un montón de curvas hiperbólicas impuestas entre sí. Hay una serie de "estrellas" en las esquinas donde dividirías la imagen en cuartos, novenos, etc.

Cualquier información al respecto sería apreciada.

Answer 1

Lo que has descubierto es esencialmente aritmética modular. Al mirar solo el último dígito de un producto (en cualquier base en la que estés mirando en ese momento), estás diciendo efectivamente 'No me importa las cosas que difieren por múltiplos de $n$; quiero considerarlos como el mismo dígito'. Por ejemplo, en base $7$, $5\times 2=10_{10}=13$ tiene el mismo último dígito que $4\times 6=24_{10}=33$; ponemos ambos de estos números en un cubo etiquetado como '$[3]', junto con $3$, $23=17_{10}$, $43=31_{10}$, etc. En matemáticas, cuando hablamos de $31 \bmod 7$ a veces simplemente nos referimos al número $3$ en sí mismo (es decir, la 'etiqueta' en este cubo que está entre $0$ y $6, pero a menudo es conveniente pensar que representa el todo del cubo: sea el número que elijamos del cubo $[3]$, cuando lo sumamos a un número en el cubo $[2]$, sabemos que nuestro resultado estará en el cubo $[5]$, y cuando multiplicamos un número en el cubo $[3]$ por un número en el cubo $[4]$, sabemos que nuestro resultado estará en el cubo $[5]'; etc. Las "últimas cifras" son una forma conveniente de hablar sobre estos cubos (aunque las cosas se vuelven un poco más complicadas cuando se habla de números negativos - ¡nota que según estas reglas, $-3$ va al cubo $[4]$!).

Mientras tanto, las bandas en tu patrón son en realidad (piezas de) hipérbolas. Dado que $a\times (n-b)\equiv -(a\times b)\pmod n$ (la afirmación '$x=y\pmod n$' es una manera matemática de decir '$x$ e $y$ están en el mismo cubo en base $n$'; aquí, la diferencia entre $a\times (n-b)$ y $-(a\times b)$ es $a\times n$), el lado derecho esencialmente es un reflejo del izquierdo, y de manera similar, la parte inferior es un reflejo de la superior. Si rearranges los cuatro cuartos de tu cuadrado de modo que el centro de simetría sea (lo que era anteriormente) la esquina superior izquierda — es decir, toma $A\ B\atop C\ D$ a $D\ C\atop B\ A$ — y luego pones el origen en el centro, entonces las bandas serán exactamente (versiones escaladas) de las hipérbolas $xy=C$ (que son las hipérbolas $y^2-x^2=2C$ rotadas por $45^\circ$). Esto sucede porque cada 'ciclo' desde blanco a negro o de negro a blanco estará separado por un múltiplo de $n$; por ejemplo, la primera transición entre ciclos ocurre a lo largo de la hipérbola $xy=n$; la segunda a lo largo de la hipérbola $xy=2n$; etc.

(En cuanto a los patrones moiré, están relacionados con la forma habitual en que se generan esos patrones, y en particular están algo relacionados con aliasing cerca del límite de Nyquist cuando la frecuencia entre bandas hiperbólicas comienza a acercarse a la frecuencia de los 'pixeles' con los que estás muestreando, pero esa es otra historia completamente diferente...)

Answer 2

Puedes modelar tus gráficos como computando $f_n(x,y)=n\left[\frac{xy}{n}\right]$, donde aquí los corchetes cuadrados son una notación ad-hoc que significa tomar la parte fraccionaria (o "reducir módulo 1"). Esto toma $z=xy$ y lo corta en un montón de hipérbolas horizontales, colapsando el gráfico como una lente de Fresnel. Luego, lo que estás haciendo es muestrear $f_n$ en puntos enteros $\{(i,j) \in \mathbb{Z}^2: 1 \leq i, j \leq n\}$, pero $f_n$ oscila más rápido que la cuadrícula de muestreo, lo que produce un patrón de Moiré.

Answer 3

Estos serían los poderes en una matriz de transformada discreta de Fourier: http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier_discreta