Evaluar el volumen de un toro formado por la rotación de una región alrededor de un eje horizontal utilizando conchas.

Question

Utilizando el método de las cáscaras cilíndricas, encuentre el volumen de la forma creada al girar la región $x^2+(y-5)^2=4$ sobre $y=-1$ .

Una cáscara cilíndrica viene dada por: $2\pi v f(v) \ dv$

Resuelvo $x^2+(y-5)^2=4$ para $y$ tal que $y=\pm\sqrt{10y-y^-21}$ .

La región delimitada por $y=\sqrt{10y-y^-21}$ va de $5 \leq y \leq 7$ que es la mitad superior del círculo. Por su simetría, multiplica por $2$ para encontrar el área restante.

Esto implica que el volumen viene dado por $4\pi\displaystyle\int_{5}^{7}(y+1)\sqrt{10y-y^-21}{\ dy}$ .

Sin embargo, cuando se evalúa, esto es diferente de lo que se calcula ici .

¿Dónde está mi error?

Answer 1

Quieres usar

$\displaystyle V=\int_3^72\pi r(y)h(y)dy=\int_3^7 2\pi(y+1) \cdot2\sqrt{4-(y-5)^2}dy=4\pi\int_3^7(y+1)\sqrt{4-(y-5)^2}dy$

$\hspace{.4 in}$ desde $x=\pm\sqrt{4-(y-5)^2}\implies h(y)=2\sqrt{4-(y-5)^2}$ .

(Observa que no podemos duplicar el volumen generado por la mitad superior del círculo, ya que el volumen generado por la mitad superior es mayor que el volumen generado por la mitad inferior del círculo).

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Como comprobación, por el Teorema de Pappus tenemos $V=A(2\pi\rho)=(\pi\cdot2^2)(2\pi\cdot6)=48\pi^2.$